Номер 430, страница 118 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 16. Сумма углов треугольника. Глава 3. Параллельные прямые. Сумма углов треугольника - номер 430, страница 118.

430. Докажите, что если два угла одного треугольника равны соответственно двум углам другого треугольника, то и третьи углы этих треугольников равны.

Для доказательства данного утверждения воспользуемся теоремой о сумме углов треугольника, которая гласит, что сумма внутренних углов любого треугольника равна $180^\circ$.

Рассмотрим два треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$.

Дано:
$\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$ — два треугольника.
По условию, два угла одного треугольника равны двум углам другого. Пусть это будут углы:
$\angle A = \angle A_1$
$\angle B = \angle B_1$

Доказать:
Третьи углы этих треугольников равны, то есть $\angle C = \angle C_1$.

Доказательство:
1. Запишем формулу суммы углов для треугольника $\triangle ABC$:
$\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$
Выразим из этой формулы третий угол $\angle C$:
$\angle C = 180^\circ - (\angle A + \angle B)$

2. Аналогично запишем формулу суммы углов для треугольника $\triangle A_1B_1C_1$:
$\angle A_1 + \angle B_1 + \angle C_1 = 180^\circ$
Выразим из этой формулы третий угол $\angle C_1$:
$\angle C_1 = 180^\circ - (\angle A_1 + \angle B_1)$

3. Из условия задачи мы знаем, что $\angle A = \angle A_1$ и $\angle B = \angle B_1$. Сравним выражения для $\angle C$ и $\angle C_1$. Так как правые части выражений состоят из равных величин ($180^\circ$, $\angle A = \angle A_1$, $\angle B = \angle B_1$), то сами выражения равны.
$\angle C = 180^\circ - (\angle A + \angle B)$
$\angle C_1 = 180^\circ - (\angle A_1 + \angle B_1) = 180^\circ - (\angle A + \angle B)$
Отсюда следует, что $\angle C = \angle C_1$.

Утверждение доказано.

Ответ: Если два угла одного треугольника равны соответственно двум углам другого треугольника, то их третьи углы также равны, что следует из теоремы о сумме углов треугольника.

430. Угол между основанием равнобедренного треугольника и высотой, проведённой к боковой стороне, равен 19°. Найдите углы данного треугольника.