Номер 440, страница 119 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 16. Сумма углов треугольника. Глава 3. Параллельные прямые. Сумма углов треугольника - номер 440, страница 119.

440. На рисунке 287 $BC \parallel AD$, $\angle B = 100^\circ$, $\angle ACD = 95^\circ$, $\angle D = 45^\circ$. Докажите, что $AB = BC$.

Рис. 287

Для того чтобы доказать, что $AB = BC$, мы докажем, что треугольник $ABC$ является равнобедренным с основанием $AC$. Для этого необходимо показать, что углы при основании равны, то есть $\angle BAC = \angle BCA$.

1. Рассмотрим треугольник $ACD$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$. Используя известные значения углов $\angle ACD = 95^\circ$ и $\angle D = 45^\circ$, найдем угол $CAD$:

$\angle CAD = 180^\circ - \angle ACD - \angle D = 180^\circ - 95^\circ - 45^\circ = 40^\circ$.

2. По условию задачи прямые $BC$ и $AD$ параллельны ($BC \parallel AD$), а отрезок $AC$ является секущей. Накрест лежащие углы, образованные при пересечении параллельных прямых секущей, равны. Следовательно:

$\angle BCA = \angle CAD = 40^\circ$.

3. Теперь найдем величину угла $BAC$. Сумма внутренних углов любого выпуклого четырехугольника равна $360^\circ$. Для четырехугольника $ABCD$ справедливо равенство:

$\angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 360^\circ$.

Представим углы $A$ и $C$ как суммы их составляющих частей:

$\angle A = \angle BAD = \angle BAC + \angle CAD$

$\angle C = \angle BCD = \angle BCA + \angle ACD$

Подставим все известные значения в уравнение суммы углов четырехугольника:

$(\angle BAC + \angle CAD) + \angle B + (\angle BCA + \angle ACD) + \angle D = 360^\circ$

$(\angle BAC + 40^\circ) + 100^\circ + (40^\circ + 95^\circ) + 45^\circ = 360^\circ$

$\angle BAC + 40^\circ + 100^\circ + 135^\circ + 45^\circ = 360^\circ$

$\angle BAC + 320^\circ = 360^\circ$

$\angle BAC = 360^\circ - 320^\circ = 40^\circ$.

4. Итак, в треугольнике $ABC$ мы определили, что $\angle BAC = 40^\circ$ и $\angle BCA = 40^\circ$. Так как два угла в треугольнике равны, он является равнобедренным. Стороны, лежащие напротив равных углов, равны. Следовательно, $AB = BC$, что и требовалось доказать.

Ответ: В ходе решения было установлено, что в треугольнике $ABC$ углы $\angle BAC = 40^\circ$ и $\angle BCA = 40^\circ$. Так как углы при основании $AC$ равны, треугольник $ABC$ является равнобедренным, и, следовательно, стороны $AB$ и $BC$ равны.

440. Докажите равенство прямоугольных треугольников по катету и биссектрисе, проведённой из вершины прямого угла.