Номер 447, страница 119 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 16. Сумма углов треугольника. Глава 3. Параллельные прямые. Сумма углов треугольника - номер 447, страница 119.

447. Определите вид треугольника, если:

1) один из его углов больше суммы двух других;

2) любой из его углов меньше суммы двух других.

1) один из его углов больше суммы двух других;

Пусть углы треугольника равны $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$. Согласно теореме о сумме углов треугольника, их сумма всегда равна $180^\circ$: $\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$.

По условию задачи, один из углов, например $\alpha$, больше суммы двух других: $\alpha > \beta + \gamma$.

Из формулы суммы углов мы можем выразить сумму $\beta + \gamma$: $\beta + \gamma = 180^\circ - \alpha$.

Теперь подставим это выражение в наше неравенство: $\alpha > 180^\circ - \alpha$.

Прибавим $\alpha$ к обеим частям неравенства: $2\alpha > 180^\circ$.

Разделим обе части на 2: $\alpha > 90^\circ$.

Так как один из углов треугольника ($\alpha$) больше $90^\circ$, то такой треугольник является тупоугольным.

Ответ: тупоугольный треугольник.

2) любой из его углов меньше суммы двух других.

Снова используем обозначения углов $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ и их сумму $\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$.

По условию, каждый угол меньше суммы двух других. Запишем это в виде системы из трех неравенств:
1. $\alpha < \beta + \gamma$
2. $\beta < \alpha + \gamma$
3. $\gamma < \alpha + \beta$

Рассмотрим первое неравенство $\alpha < \beta + \gamma$. Заменим сумму $\beta + \gamma$ на выражение $180^\circ - \alpha$: $\alpha < 180^\circ - \alpha$.

Решим это неравенство: $2\alpha < 180^\circ$ $\alpha < 90^\circ$.

Проведя аналогичные преобразования для двух других неравенств, мы получим, что $\beta < 90^\circ$ и $\gamma < 90^\circ$.

Поскольку все три угла треугольника меньше $90^\circ$, то есть являются острыми, такой треугольник называется остроугольным.

Ответ: остроугольный треугольник.

447. Прямая пересекает стороны $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$ соответственно в точках $M$ и $K$, являющихся серединами этих сторон. Докажите, что вершины данного треугольника равноудалены от прямой $MK$.