Номер 452, страница 120 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 16. Сумма углов треугольника. Глава 3. Параллельные прямые. Сумма углов треугольника - номер 452, страница 120.

452. В треугольнике ABC $\angle A = \alpha$, биссектрисы внешних углов при вершинах B и C пересекаются в точке O. Найдите угол BOC.

Пусть в треугольнике $ABC$ внутренние углы при вершинах $B$ и $C$ равны $\angle B$ и $\angle C$ соответственно. По условию задачи, угол при вершине $A$ равен $\alpha$, то есть $\angle A = \alpha$.

Внешний угол при вершине $B$ является смежным с внутренним углом $\angle B$, следовательно, его величина равна $180^\circ - \angle B$. Аналогично, величина внешнего угла при вершине $C$ равна $180^\circ - \angle C$.

По условию, $BO$ и $CO$ являются биссектрисами этих внешних углов. Биссектриса делит угол пополам. Следовательно, мы можем найти углы $\angle OBC$ и $\angle OCB$ в треугольнике $BOC$.

Угол $\angle OBC$ составляет половину внешнего угла при вершине $B$:
$\angle OBC = \frac{1}{2}(180^\circ - \angle B) = 90^\circ - \frac{\angle B}{2}$.

Угол $\angle OCB$ составляет половину внешнего угла при вершине $C$:
$\angle OCB = \frac{1}{2}(180^\circ - \angle C) = 90^\circ - \frac{\angle C}{2}$.

Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. Применив это свойство к треугольнику $BOC$, получаем:
$\angle BOC + \angle OBC + \angle OCB = 180^\circ$.

Теперь подставим найденные выражения для углов $\angle OBC$ и $\angle OCB$ в это равенство:
$\angle BOC + \left(90^\circ - \frac{\angle B}{2}\right) + \left(90^\circ - \frac{\angle C}{2}\right) = 180^\circ$.

Упростим полученное уравнение:
$\angle BOC + 180^\circ - \left(\frac{\angle B}{2} + \frac{\angle C}{2}\right) = 180^\circ$.
$\angle BOC - \frac{\angle B + \angle C}{2} = 0$.
$\angle BOC = \frac{\angle B + \angle C}{2}$.

Чтобы выразить $\angle BOC$ через $\alpha$, воспользуемся свойством суммы углов исходного треугольника $ABC$:
$\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$.
Поскольку $\angle A = \alpha$, то $\angle B + \angle C = 180^\circ - \alpha$.

Подставим это соотношение в формулу для $\angle BOC$:
$\angle BOC = \frac{180^\circ - \alpha}{2} = 90^\circ - \frac{\alpha}{2}$.

Ответ: $90^\circ - \frac{\alpha}{2}$.

452. Докажите равенство треугольников по двум углам и высоте, проведённой из вершины третьего угла.