Номер 455, страница 120 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 16. Сумма углов треугольника. Глава 3. Параллельные прямые. Сумма углов треугольника - номер 455, страница 120.

455. На прямой отметили точки A, B и C так, что точка B лежит между точками A и C, причём $BC = 2AB$. На отрезке BC отметили точку D так, что $BD : DC = 3 : 7$. Найдите расстояние между серединами отрезков AB и CD, если отрезок CD на 16 см длиннее отрезка BD.

1. Найдём длины отрезков BD и DC.

По условию задачи, отношение длин отрезков $BD$ и $DC$ составляет $3:7$. Это можно записать как $BD = 3x$ и $DC = 7x$ для некоторого коэффициента пропорциональности $x$.

Также дано, что отрезок $CD$ на 16 см длиннее отрезка $BD$. Составим уравнение:

$CD - BD = 16$

Подставим наши выражения через $x$:

$7x - 3x = 16$

$4x = 16$

$x = \frac{16}{4} = 4$ см

Теперь найдём длины отрезков $BD$ и $DC$:

$BD = 3x = 3 \cdot 4 = 12$ см

$DC = 7x = 7 \cdot 4 = 28$ см

Проверка: $28 - 12 = 16$ см, что соответствует условию.

2. Найдём длины отрезков BC и AB.

Точка $D$ лежит на отрезке $BC$, следовательно, длина отрезка $BC$ равна сумме длин отрезков $BD$ и $DC$:

$BC = BD + DC = 12 + 28 = 40$ см

По условию, $BC = 2AB$. Отсюда мы можем найти длину отрезка $AB$:

$AB = \frac{BC}{2} = \frac{40}{2} = 20$ см

3. Найдём расстояние между серединами отрезков AB и CD.

Пусть точка $M$ — середина отрезка $AB$, а точка $N$ — середина отрезка $CD$. Точки на прямой расположены в следующем порядке: $A, M, B, D, N, C$.

Расстояние, которое нам нужно найти, — это длина отрезка $MN$. Его можно представить как сумму длин трёх отрезков: $MB$, $BD$ и $DN$.

$MN = MB + BD + DN$

Найдём длины этих отрезков:

• $MB$ — это половина длины $AB$: $MB = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} \cdot 20 = 10$ см.
• $BD$ — длина этого отрезка уже найдена: $BD = 12$ см.
• $DN$ — это половина длины $CD$ (или $DC$): $DN = \frac{1}{2}CD = \frac{1}{2} \cdot 28 = 14$ см.

Теперь сложим полученные значения, чтобы найти искомое расстояние:

$MN = 10 + 12 + 14 = 36$ см

Ответ: 36 см

455. На рисунке 266 $AB = CD$, $BC = AD$. Докажите, что $AO = OC$.

Рис. 266