Страница 124 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

465. Периметр равнобедренного треугольника равен $20 \text{ см}$. Может ли длина его боковой стороны быть равной $5 \text{ см}$?

Пусть дан равнобедренный треугольник. Обозначим длину его боковой стороны как $a$, а длину основания как $b$. Периметр $P$ такого треугольника равен сумме длин всех его сторон: $P = a + a + b = 2a + b$.

По условию задачи, периметр треугольника равен 20 см. Проверим, может ли длина боковой стороны быть равной 5 см.

Предположим, что боковая сторона $a = 5$ см. Так как треугольник равнобедренный, у него две боковые стороны имеют одинаковую длину.

Используя формулу периметра, найдем длину основания $b$:
$P = 2a + b$
$20 = 2 \cdot 5 + b$
$20 = 10 + b$
$b = 20 - 10$
$b = 10$ см.

Итак, мы получили гипотетический треугольник со сторонами 5 см, 5 см и 10 см.

Теперь необходимо проверить, выполняется ли для этих сторон неравенство треугольника. Это основное правило существования треугольника, которое гласит, что сумма длин любых двух его сторон должна быть строго больше длины третьей стороны.

Проверим это условие:

1. $5 + 5 > 10$? Получаем $10 > 10$. Это неравенство неверно.

Поскольку одно из условий неравенства треугольника не выполняется, треугольник со сторонами 5 см, 5 см и 10 см существовать не может. В данном случае сумма двух сторон равна третьей, что означает, что все три вершины лежат на одной прямой (такой треугольник называют вырожденным).

Следовательно, длина боковой стороны равнобедренного треугольника с периметром 20 см не может быть равна 5 см.

Ответ: нет, не может.

465. На рисунке 270 $AB$ – перпендикуляр, $AC$ – наклонная, $AC = 2$ см. Найдите угол $ACB$ и длину перпендикуляра $AB$, если эта длина, выраженная в сантиметрах, равна целому числу.

466. Две стороны треугольника равны 3,4 см и 6,1 см. Какую наименьшую длину, выраженную целым числом сантиметров, может иметь третья сторона?

Для решения этой задачи воспользуемся неравенством треугольника. Оно гласит, что любая сторона треугольника должна быть меньше суммы двух других сторон и больше модуля их разности.

Пусть длины двух известных сторон равны $a = 3,4$ см и $b = 6,1$ см, а длина третьей стороны, которую нужно найти, равна $c$. Согласно неравенству треугольника, для стороны $c$ должно выполняться следующее двойное неравенство:
$|a - b| < c < a + b$

Подставим в это неравенство значения длин известных сторон, чтобы найти возможный диапазон для длины $c$:
$|3,4 - 6,1| < c < 3,4 + 6,1$
$|-2,7| < c < 9,5$
$2,7 < c < 9,5$

Таким образом, длина третьей стороны $c$ должна быть строго больше 2,7 см и строго меньше 9,5 см. По условию задачи, мы ищем наименьшую длину, выраженную целым числом сантиметров.

Нам нужно найти наименьшее целое число, которое удовлетворяет неравенству $c > 2,7$. Первое целое число, которое больше 2,7, это 3. Это число также удовлетворяет второму условию $3 < 9,5$, значит оно входит в допустимый диапазон.

Следовательно, наименьшая возможная целая длина третьей стороны треугольника составляет 3 см.

Ответ: 3 см.

466. Основание равнобедренного треугольника равно 18 см, а один из углов – $120^\circ$. Найдите высоту треугольника, проведённую из вершины угла при его основании.

467. Две стороны треугольника равны 4,8 см и 7,6 см. Какую наибольшую длину, выраженную целым числом сантиметров, может иметь третья сторона?

Для решения этой задачи воспользуемся правилом, известным как неравенство треугольника. Оно гласит, что любая сторона треугольника всегда меньше суммы двух других его сторон.

Пусть длины двух известных сторон треугольника равны $a = 4,8$ см и $b = 7,6$ см. Пусть длина третьей стороны равна $c$.

Согласно неравенству треугольника, длина стороны $c$ должна удовлетворять следующему условию:
$|a - b| < c < a + b$

Сначала найдем верхнюю границу для длины стороны $c$, вычислив сумму длин известных сторон:
$c < a + b$
$c < 4,8 + 7,6$
$c < 12,4$ см

Теперь найдем нижнюю границу для длины стороны $c$, вычислив модуль разности длин известных сторон:
$c > |a - b|$
$c > |4,8 - 7,6|$
$c > |-2,8|$
$c > 2,8$ см

Таким образом, мы получили, что длина третьей стороны $c$ должна быть в интервале от 2,8 см до 12,4 см:
$2,8 < c < 12,4$

По условию задачи, необходимо найти наибольшую длину третьей стороны, которая выражена целым числом сантиметров. Ищем наибольшее целое число в интервале $(2,8; 12,4)$. Наибольшее целое число, которое меньше, чем 12,4, это 12.
Проверим, удовлетворяет ли это значение всему неравенству: $2,8 < 12 < 12,4$. Неравенство верное.

Ответ: 12 см.

467. В равнобедренном треугольнике $ABC$ с основанием $BC$ провели высоту $BM$, $BM = 7,5$ см, $\angle MBC = 15^\circ$. Найдите боковую сторону треугольника.

468. Существует ли треугольник, одна из сторон которого на 2 см меньше второй и на 6 см меньше третьей, а периметр равен 20 см?

Для решения этой задачи обозначим длины сторон треугольника переменной, составим уравнение на основе периметра, найдем длины сторон и проверим, выполняется ли для них неравенство треугольника.

Пусть $x$ см — длина первой, наименьшей, стороны треугольника.Согласно условию, эта сторона на 2 см меньше второй, значит, вторая сторона равна $(x + 2)$ см.Также эта сторона на 6 см меньше третьей, значит, третья сторона равна $(x + 6)$ см.

Периметр треугольника — это сумма длин всех его сторон. По условию, периметр равен 20 см. Составим и решим уравнение:

$x + (x + 2) + (x + 6) = 20$

$3x + 8 = 20$

$3x = 20 - 8$

$3x = 12$

$x = 4$

Таким образом, мы нашли длины сторон предполагаемого треугольника:

Первая сторона: $x = 4$ см.

Вторая сторона: $x + 2 = 4 + 2 = 6$ см.

Третья сторона: $x + 6 = 4 + 6 = 10$ см.

Теперь необходимо проверить, может ли существовать треугольник с такими сторонами. Согласно неравенству треугольника, сумма длин любых двух сторон треугольника должна быть строго больше длины третьей стороны. Достаточно проверить выполнение этого условия для суммы двух меньших сторон и большей стороны:

$4 + 6 > 10$

$10 > 10$

Полученное неравенство является неверным, так как 10 не больше 10, а равно 10. Поскольку условие неравенства треугольника не выполняется, треугольник с такими сторонами существовать не может. В этом случае все три вершины лежали бы на одной прямой (такой треугольник называют вырожденным).

Ответ: нет, такой треугольник не существует.

468. Биссектрисы $AM$ и $BK$ равностороннего треугольника $ABC$ пересекаются в точке $O$. Докажите, что $AO : OM = 2 : 1$.

469. Существует ли треугольник, одна из сторон которого на 1 см меньше второй и на 3 см меньше третьей, а периметр равен 22 см?

Для ответа на этот вопрос необходимо сначала найти возможные длины сторон треугольника, исходя из данных условия, а затем проверить, может ли существовать треугольник с такими сторонами, используя неравенство треугольника.

Пусть $a$, $b$ и $c$ – длины сторон искомого треугольника. Обозначим длину одной из сторон (назовем ее первой) за $x$ см.

Из условия задачи следует, что эта сторона на 1 см меньше второй и на 3 см меньше третьей. Выразим длины второй и третьей сторон через $x$:

• Длина первой стороны: $a = x$ см.
• Длина второй стороны: $b = (x + 1)$ см.
• Длина третьей стороны: $c = (x + 3)$ см.

Периметр треугольника $P$ – это сумма длин всех его сторон. По условию, периметр равен 22 см. Составим уравнение:

$a + b + c = P$

$x + (x + 1) + (x + 3) = 22$

Теперь решим это уравнение относительно $x$:

$3x + 4 = 22$

$3x = 22 - 4$

$3x = 18$

$x = \frac{18}{3}$

$x = 6$

Мы нашли длину первой стороны. Теперь найдем длины двух других сторон:

• Первая сторона: $a = 6$ см.
• Вторая сторона: $b = 6 + 1 = 7$ см.
• Третья сторона: $c = 6 + 3 = 9$ см.

Итак, мы получили гипотетический треугольник со сторонами 6 см, 7 см и 9 см.

Теперь необходимо проверить, выполняется ли для этих сторон неравенство треугольника. Оно гласит, что сумма длин любых двух сторон треугольника должна быть больше длины третьей стороны.

Проверим все три комбинации:

1. $a + b > c \Rightarrow 6 + 7 > 9 \Rightarrow 13 > 9$. (Верно)
2. $a + c > b \Rightarrow 6 + 9 > 7 \Rightarrow 15 > 7$. (Верно)
3. $b + c > a \Rightarrow 7 + 9 > 6 \Rightarrow 16 > 6$. (Верно)

Все условия неравенства треугольника выполняются. Это означает, что треугольник с такими сторонами может существовать.

Ответ: да, такой треугольник существует. Его стороны равны 6 см, 7 см и 9 см.

469. В треугольнике $ABC$ известно, что $\angle C = 90^\circ$, $\angle B = 30^\circ$. Серединный перпендикуляр отрезка $AB$ пересекает его в точке $M$, а отрезок $BC$ – в точке $K$. Докажите, что $MK = \frac{1}{3}BC$.

470. В треугольнике $ABC$ угол $B$ тупой. На продолжении стороны $AB$ за точку $A$ отметили произвольную точку $D$. Докажите, что $CD > AC$.

Рассмотрим треугольник $ADC$. Для доказательства неравенства $CD > AC$ воспользуемся теоремой о соотношении между сторонами и углами треугольника, которая гласит, что в треугольнике против большей стороны лежит больший угол, а против большего угла лежит большая сторона. Таким образом, нам необходимо доказать, что угол, противолежащий стороне $CD$ (то есть $\angle CAD$), больше угла, противолежащего стороне $AC$ (то есть $\angle ADC$).

1. Углы $\angle CAB$ и $\angle CAD$ являются смежными, так как по условию точка $D$ лежит на продолжении стороны $AB$ за точку $A$, а значит точки $D$, $A$, $B$ лежат на одной прямой. Сумма смежных углов равна $180^\circ$, следовательно:

$\angle CAD + \angle CAB = 180^\circ$

2. Рассмотрим треугольник $ABC$. По условию, $\angle B$ (или $\angle ABC$) — тупой, то есть $\angle ABC > 90^\circ$. Сумма углов треугольника равна $180^\circ$, поэтому сумма двух других углов, $\angle CAB$ и $\angle ACB$, равна:

$\angle CAB + \angle ACB = 180^\circ - \angle ABC$

Поскольку $\angle ABC > 90^\circ$, то $180^\circ - \angle ABC < 90^\circ$. Следовательно, $\angle CAB + \angle ACB < 90^\circ$. Это означает, что оба угла, $\angle CAB$ и $\angle ACB$, являются острыми. В частности, $\angle CAB < 90^\circ$.

3. Вернемся к равенству для смежных углов: $\angle CAD = 180^\circ - \angle CAB$. Так как $\angle CAB$ — острый угол ($\angle CAB < 90^\circ$), то угол $\angle CAD$ будет тупым:

$\angle CAD > 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$

4. Теперь рассмотрим треугольник $ADC$. В нем угол $\angle CAD$ является тупым. Так как в любом треугольнике может быть не более одного тупого или прямого угла, два других угла, $\angle ADC$ и $\angle ACD$, обязаны быть острыми. В частности, $\angle ADC < 90^\circ$.

5. Сравнивая углы $\angle CAD$ и $\angle ADC$ в треугольнике $ADC$, мы видим, что $\angle CAD > 90^\circ$ и $\angle ADC < 90^\circ$, откуда очевидно следует, что $\angle CAD > \angle ADC$.

6. Согласно теореме о соотношении сторон и углов треугольника, в треугольнике $ADC$ сторона, лежащая против большего угла $\angle CAD$ (это сторона $CD$), больше стороны, лежащей против меньшего угла $\angle ADC$ (это сторона $AC$). Таким образом, $CD > AC$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Неравенство $CD > AC$ доказано.

470. В треугольнике $MKE$ известно, что $\angle K = 90^\circ$, $\angle E = 30^\circ$, $KE = 12$ см.

Найдите биссектрису $MC$ треугольника.

471. В треугольнике $ABC$ $\angle C > 90^{\circ}$. На стороне $BC$ отметили произвольную точку $D$. Докажите, что $AD > AC$.

Рассмотрим треугольник $ADC$, образованный вершинами $A$, $C$ и точкой $D$ на стороне $BC$.

По условию задачи, угол $C$ в треугольнике $ABC$ тупой, то есть $\angle C > 90^\circ$. Поскольку точка $D$ лежит на стороне $BC$, угол $\angle ACD$ в треугольнике $ADC$ совпадает с углом $\angle C$. Таким образом, $\angle ACD > 90^\circ$.

Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. Для треугольника $ADC$ имеем: $\angle CAD + \angle ADC + \angle ACD = 180^\circ$.

Так как один из углов треугольника $ADC$ (а именно, $\angle ACD$) больше $90^\circ$, он является тупым. В треугольнике может быть только один тупой или прямой угол, поэтому остальные два угла, $\angle CAD$ и $\angle ADC$, должны быть острыми. В частности, это означает, что $\angle ADC < 90^\circ$.

Теперь сравним два угла в треугольнике $ADC$: $\angle ACD$ и $\angle ADC$. Мы установили, что $\angle ACD > 90^\circ$ и $\angle ADC < 90^\circ$. Отсюда следует, что $\angle ACD > \angle ADC$.

Согласно теореме о соотношении сторон и углов треугольника, против большего угла лежит большая сторона. В треугольнике $ADC$ сторона $AD$ лежит напротив угла $\angle ACD$, а сторона $AC$ лежит напротив угла $\angle ADC$.

Так как $\angle ACD > \angle ADC$, то и соответствующая противолежащая сторона $AD$ больше стороны $AC$. Таким образом, $AD > AC$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. В треугольнике $ADC$ угол $\angle ACD$ тупой, а значит, он больше острого угла $\angle ADC$. Следовательно, сторона $AD$, лежащая против большего угла $\angle ACD$, длиннее стороны $AC$, лежащей против меньшего угла $\angle ADC$.

471. В треугольнике $ABC$ известно, что $\angle C = 90^\circ$, $\angle BAC = 60^\circ$, отрезок $AD$ – биссектриса, отрезок $CD$ на 3 см меньше отрезка $BD$. Найдите биссектрису $AD$.

472. Три точки $A$, $B$ и $C$ таковы, что выполняется равенство $AB = AC + CB$. Докажите, что точка $C$ является внутренней точкой отрезка $AB$.

Для доказательства данного утверждения воспользуемся методом от противного. Предположим, что точка C не является внутренней точкой отрезка AB. Это может означать одно из двух:

1. Точки A, B и C не лежат на одной прямой.
2. Точки A, B и C лежат на одной прямой, но C не находится между A и B.

Рассмотрим оба этих случая.

1. Точки A, B и C не лежат на одной прямой.

Если точки A, B и C не лежат на одной прямой, то они являются вершинами треугольника ABC. Для любого треугольника справедливо неравенство треугольника, которое гласит, что длина любой стороны треугольника строго меньше суммы длин двух других его сторон. Применительно к стороне AB это неравенство записывается как:

$AB < AC + CB$

Однако по условию задачи нам дано равенство $AB = AC + CB$. Это прямо противоречит неравенству треугольника. Следовательно, наше предположение о том, что точки A, B и C не лежат на одной прямой, является неверным. Значит, точки A, B и C обязательно лежат на одной прямой.

2. Точки A, B и C лежат на одной прямой, но C не находится между A и B.

Раз точки лежат на одной прямой, рассмотрим возможные варианты их взаимного расположения, кроме того, когда C находится между A и B:

• Точка A лежит между C и B. В этом случае, по свойству измерения отрезков на прямой, длина отрезка CB равна сумме длин отрезков CA и AB: $CB = CA + AB$. Отсюда $AB = CB - CA$. Так как по условию $AB = AC + CB$ и $AC = CA$, мы можем приравнять два выражения для AB:
  $CB - AC = AC + CB$
  Вычитая $CB$ из обеих частей, получаем:
  $-AC = AC$
  $2 \cdot AC = 0$
  Это равенство верно только если $AC = 0$, то есть точки A и C совпадают.
• Точка B лежит между A и C. В этом случае, по свойству измерения отрезков, $AC = AB + BC$. Отсюда $AB = AC - BC$. Сравнивая это с условием $AB = AC + CB$ (где $BC = CB$), получаем:
  $AC - BC = AC + BC$
  Вычитая $AC$ из обеих частей, получаем:
  $-BC = BC$
  $2 \cdot BC = 0$
  Это равенство верно только если $BC = 0$, то есть точки B и C совпадают.

Таким образом, мы показали, что если точка C не находится строго между A и B, то она должна совпадать либо с точкой A, либо с точкой B (при условии, что A и B — различные точки). В этих случаях точка C является концом отрезка AB, а не его внутренней точкой.

Если же предположить, что A, B, C — это три различные точки, то случаи $AC = 0$ и $BC = 0$ невозможны. Единственный вариант, который не приводит к противоречию и согласуется с условием $AB = AC + CB$, — это когда точки лежат на одной прямой и именно точка C находится между точками A и B. По определению, это и означает, что точка C является внутренней точкой отрезка AB.

Ответ: Доказательство строится на рассмотрении всех возможных расположений точек. С помощью неравенства треугольника доказывается, что точки A, B, C должны лежать на одной прямой. Затем, анализируя возможные порядки точек на прямой, приходим к выводу, что равенство $AB = AC + CB$ выполняется только тогда, когда точка C находится между точками A и B (или совпадает с одной из них). Следовательно, C является точкой отрезка AB, а если A, B, C - различные точки, то C - внутренняя точка отрезка AB.

472. На рисунке 271 $AB = BC$, $AM = KC$, $\angle AKE = \angle FMC$. Докажите, что треугольник $FBE$ – равнобедренный.

Рис. 271

473. На прямой $m$ (рис. 295) найдите такую точку $C$, чтобы сумма расстояний от неё до точек $A$ и $B$ была наименьшей. Ответ обоснуйте.

Рис. 295

Чтобы найти на прямой m точку C, для которой сумма расстояний $AC + BC$ будет наименьшей, необходимо выполнить следующее построение: отразить одну из точек (например, A) симметрично относительно прямой m. Получим точку A'. Затем нужно соединить точку A' с точкой B. Точка пересечения отрезка A'B с прямой m и будет искомой точкой C.

Обоснование:

По определению осевой симметрии, прямая m является серединным перпендикуляром к отрезку AA'. Любая точка, лежащая на серединном перпендикуляре к отрезку, равноудалена от его концов. Следовательно, для любой точки C, принадлежащей прямой m, будет выполняться равенство $AC = A'C$.

Таким образом, задачу минимизации суммы $AC + BC$ можно свести к задаче минимизации суммы $A'C + BC$.

Точки A' и B лежат по разные стороны от прямой m. Кратчайшее расстояние между двумя точками — это длина отрезка прямой, соединяющего эти точки. Сумма длин $A'C + BC$ будет наименьшей, если точки A', C и B будут лежать на одной прямой, то есть $A'C + BC = A'B$. Это возможно только в том случае, если точка C является точкой пересечения отрезка A'B и прямой m.

Для любой другой точки C' на прямой m (не совпадающей с C), точки A', C' и B образуют треугольник A'C'B. По неравенству треугольника, $A'C' + C'B > A'B$. Заменяя $A'C'$ на $AC'$ (так как $AC' = A'C'$) и $A'B$ на $AC + BC$ (так как $A'B = A'C + CB = AC + CB$), получаем $AC' + C'B > AC + BC$.

Это доказывает, что построенная точка C является единственной точкой на прямой m, для которой сумма расстояний до точек A и B минимальна.

Ответ: Искомая точка C — это точка пересечения прямой m с отрезком, соединяющим одну из данных точек (например, B) с точкой, симметричной другой данной точке (A) относительно прямой m.

473. Через вершины $A$ и $B$ треугольника $ABC$ проведены прямые, перпендикулярные биссектрисе угла $ACB$ и пересекающие прямые $BC$ и $AC$ в точках $M$ и $K$ соответственно. Найдите периметр треугольника $ABC$, если $AC > BC$, $CM = 6$ см, $BK = 2$ см, $AB = 7$ см.

474. Одна сторона треугольника равна 2,8 см, а вторая – 0,6 см. Найдите третью сторону этого треугольника, если её длина, выраженная в сантиметрах, равна целому числу.

Обозначим стороны треугольника как $a$, $b$ и $c$. По условию задачи, нам даны длины двух сторон: $a = 2,8$ см и $b = 0,6$ см. Требуется найти длину третьей стороны $c$, зная, что она выражена целым числом.

Для решения задачи воспользуемся неравенством треугольника. Согласно этому правилу, любая сторона треугольника должна быть меньше суммы двух других сторон, но больше модуля их разности.

Запишем это свойство в виде двойного неравенства для стороны $c$:

$|a - b| < c < a + b$

Теперь подставим в это неравенство известные значения $a=2,8$ и $b=0,6$:

$|2,8 - 0,6| < c < 2,8 + 0,6$

Выполним вычисления в левой и правой частях неравенства:

$2,2 < c < 3,4$

Мы получили диапазон возможных значений для длины стороны $c$. По условию задачи, длина стороны $c$ должна быть целым числом. Единственное целое число, которое удовлетворяет неравенству $2,2 < c < 3,4$, это 3.

Таким образом, длина третьей стороны треугольника равна 3 см.

Ответ: 3 см.

474. На рисунке 272 $BC \parallel AD$, луч $CA$ – биссектриса угла $BCD$, $AD = 9$ см, $AC = 8$ см. Найдите периметр треугольника $CAD$.

Рис. 270

Рис. 271

Рис. 272

475. Отрезок $AM$ – медиана треугольника $ABC$, $\angle CAM > \angle BAM$. Докажите, что $AB > AC$.

Для доказательства выполним дополнительное построение. На продолжении медианы $AM$ за точку $M$ отложим отрезок $MD$, равный отрезку $AM$, и соединим точку $D$ с точкой $C$.

Рассмотрим треугольники $\triangle AMB$ и $\triangle DMC$.

В этих треугольниках:

1. $AM = MD$ по построению.

2. $BM = MC$ по определению медианы.

3. $\angle AMB = \angle DMC$ как вертикальные углы.

Следовательно, $\triangle AMB = \triangle DMC$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). Из равенства треугольников следует, что соответствующие стороны и углы равны: $AB = DC$ и $\angle BAM = \angle MDC$.

Теперь рассмотрим треугольник $ACD$. По условию задачи $\angle CAM > \angle BAM$. Так как мы доказали, что $\angle BAM = \angle MDC$ (или $\angle ADC$), то для углов треугольника $ACD$ справедливо неравенство: $\angle CAD > \angle ADC$.

В треугольнике против большего угла лежит большая сторона. В треугольнике $ACD$ сторона $DC$ лежит против угла $\angle CAD$, а сторона $AC$ лежит против угла $\angle ADC$. Так как $\angle CAD > \angle ADC$, то и сторона $DC$ больше стороны $AC$, то есть $DC > AC$.

Поскольку из равенства треугольников $\triangle AMB$ и $\triangle DMC$ следует, что $AB = DC$, мы можем заменить в последнем неравенстве $DC$ на $AB$ и получить $AB > AC$.

Таким образом, требуемое утверждение доказано.

Ответ: Доказано, что $AB > AC$.

475. Разрежьте треугольник на четыре части так, чтобы, перевернув три из них, можно было сложить треугольник, равный данному.

476. Отрезок $AM$ – медиана треугольника $ABC$, $AB > AC$. Докажите, что $\angle CAM > \angle BAM$.

Для доказательства данного утверждения воспользуемся методом дополнительного построения.

Выполним построение: продлим медиану $AM$ за точку $M$ на ее длину, отложив отрезок $MD$ так, что $AM = MD$. Соединим точку $D$ с точкой $C$.

Рассмотрим получившийся четырехугольник $ABDC$. Его диагонали $AD$ и $BC$ пересекаются в точке $M$. По построению $AM = MD$, а по определению медианы $BM = MC$. Так как диагонали четырехугольника $ABDC$ в точке пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник является параллелограммом.

По свойству параллелограмма его противолежащие стороны равны. Отсюда следует, что сторона $CD$ равна стороне $AB$.

Теперь рассмотрим треугольник $ACD$. По условию задачи дано, что $AB > AC$. Поскольку мы установили, что $CD = AB$, то в $\triangle ACD$ выполняется неравенство $CD > AC$.

Согласно теореме о соотношении сторон и углов треугольника, против большей стороны лежит больший угол. В $\triangle ACD$ против стороны $CD$ лежит угол $\angle CAD$, а против стороны $AC$ лежит угол $\angle ADC$. Так как $CD > AC$, то и $\angle CAD > \angle ADC$.

Проанализируем полученные углы:

• Угол $\angle CAD$ — это тот же самый угол, что и $\angle CAM$.
• Углы $\angle BAM$ и $\angle ADC$ являются накрест лежащими углами при параллельных прямых $AB$ и $CD$ (противоположные стороны параллелограмма) и секущей $AD$. Следовательно, эти углы равны: $\angle BAM = \angle ADC$.

Подставим $\angle CAM$ вместо $\angle CAD$ и $\angle BAM$ вместо $\angle ADC$ в выведенное ранее неравенство $\angle CAD > \angle ADC$. В результате получаем:

$\angle CAM > \angle BAM$

Утверждение доказано.

Ответ: Утверждение, что $\angle CAM > \angle BAM$ при заданных условиях, доказано.

476. Начертите окружность с центром $O$ и радиусом $3,5 \text{ см}$. Отметьте на этом рисунке какие-нибудь:

1) точки $A$ и $B$ такие, что $OA < 3,5 \text{ см}$, $OB < 3,5 \text{ см}$;

2) точки $C$ и $D$ такие, что $OC = 3,5 \text{ см}$, $OD = 3,5 \text{ см}$;

3) точки $E$ и $F$ такие, что $OE > 3,5 \text{ см}$, $OF > 3,5 \text{ см}$.

477. Градусные меры смежных углов $ABC$ и $CBD$ относятся как 5 : 4. Найдите угол между биссектрисами углов $ABC$ и $ABD$. Сколько решений имеет задача?

Найдите угол между биссектрисами углов ABC и ABD

1. По условию, углы $ \angle ABC $ и $ \angle CBD $ являются смежными. Сумма смежных углов равна $180^\circ$. Также известно, что их градусные меры относятся как $5:4$. Обозначим одну часть отношения за $x$. Тогда $ \angle ABC = 5x $, а $ \angle CBD = 4x $.

Составим и решим уравнение: $ 5x + 4x = 180^\circ $ $ 9x = 180^\circ $ $ x = \frac{180^\circ}{9} = 20^\circ $

Таким образом, градусные меры углов равны: $ \angle ABC = 5 \cdot 20^\circ = 100^\circ $ $ \angle CBD = 4 \cdot 20^\circ = 80^\circ $

2. Так как $ \angle ABC $ и $ \angle CBD $ — смежные, их внешние стороны $BA$ и $BD$ являются дополнительными лучами и образуют прямую. Угол $ \angle ABD $ является развернутым, и его мера составляет $ \angle ABD = 100^\circ + 80^\circ = 180^\circ $.

3. Найдем биссектрисы указанных углов. Пусть $BM$ — биссектриса угла $ \angle ABC $. Биссектриса делит угол пополам, поэтому угол между лучом $BA$ и биссектрисой $BM$ равен: $ \angle ABM = \frac{\angle ABC}{2} = \frac{100^\circ}{2} = 50^\circ $

Пусть $BN$ — биссектриса развернутого угла $ \angle ABD $. Она делит его на два прямых угла, поэтому угол между лучом $BA$ и биссектрисой $BN$ равен: $ \angle ABN = \frac{\angle ABD}{2} = \frac{180^\circ}{2} = 90^\circ $

4. У развернутого угла биссектрисой является луч, перпендикулярный прямой, на которой лежит этот угол. Таких лучей два — они направлены в разные полуплоскости относительно этой прямой. Это приводит к двум возможным случаям расположения биссектрис.

Случай 1: Биссектриса $BN$ расположена в той же полуплоскости относительно прямой $AD$, что и луч $BC$ (а значит, и биссектриса $BM$). В этом случае искомый угол между биссектрисами $BM$ и $BN$ равен разности углов, которые они образуют с лучом $BA$: $ \text{Угол}_1 = \angle ABN - \angle ABM = 90^\circ - 50^\circ = 40^\circ $

Случай 2: Биссектриса $BN$ расположена в противоположной полуплоскости относительно прямой $AD$ от биссектрисы $BM$. В этом случае угол между биссектрисами будет равен сумме углов, которые они образуют с лучом $BA$ по разные стороны от него: $ \text{Угол}_2 = \angle ABM + \angle ABN = 50^\circ + 90^\circ = 140^\circ $

Ответ: угол между биссектрисами может быть равен $40^\circ$ или $140^\circ$.

Сколько решений имеет задача?

Как было показано при нахождении угла, неоднозначность в решении возникает из-за того, что у развернутого угла $ \angle ABD $ существуют две биссектрисы. Это два луча, перпендикулярные прямой $AD$ и исходящие из точки $B$ в разные полуплоскости. В зависимости от выбора, какой из этих двух лучей считать биссектрисой $BN$, получается два разных, но одинаково правильных ответа для величины искомого угла.

Ответ: задача имеет два решения.

477. Начертите отрезок $AB$, длина которого равна 3 см. Найдите точку, удалённую от каждого из концов отрезка $AB$ на 2 см. Сколько существует таких точек?

478. В треугольниках $ABC$ и $MKE$ $AB = MK$, $BC = KE$, $\angle B = \angle K$. На отрезке $AB$ отметили точку $F$, а на отрезке $MK$ — точку $P$ так, что $\angle ACF = \angle MEP$. Какова длина отрезка $CF$, если $PE = 15$ см?

Рассмотрим треугольники $ABC$ и $MKE$. По условию задачи дано, что $AB = MK$, $BC = KE$ и угол между этими сторонами $\angle B = \angle K$. Следовательно, по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), треугольник $ABC$ равен треугольнику $MKE$: $\triangle ABC \cong \triangle MKE$.

Из равенства треугольников $ABC$ и $MKE$ следует равенство их соответствующих элементов:

• $AC = ME$ (как соответственные стороны)
• $\angle A = \angle M$ (как соответственные углы)
• $\angle BCA = \angle KEM$ (как соответственные углы)

Теперь рассмотрим треугольники $ACF$ и $MEP$. Сравним их элементы:

• $AC = ME$ (доказано выше).
• $\angle FAC = \angle PME$ (так как это те же углы, что и соответственные углы $\angle A$ и $\angle M$).
• $\angle ACF = \angle MEP$ (дано по условию задачи).

Таким образом, у нас есть сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника, которые соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника ($\angle FAC$ и $\angle ACF$ – углы, прилежащие к стороне $AC$; $\angle PME$ и $\angle MEP$ – углы, прилежащие к стороне $ME$). Следовательно, по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам), треугольник $ACF$ равен треугольнику $MEP$: $\triangle ACF \cong \triangle MEP$.

Из равенства треугольников $ACF$ и $MEP$ следует равенство их соответственных сторон. Сторона $CF$ в $\triangle ACF$ лежит напротив угла $\angle FAC$. Сторона $PE$ в $\triangle MEP$ лежит напротив угла $\angle PME$. Так как $\angle FAC = \angle PME$, то стороны $CF$ и $PE$ являются соответственными, а значит, равными.

$CF = PE$

По условию задачи длина отрезка $PE = 15$ см. Следовательно, длина отрезка $CF$ также равна 15 см.

Ответ: 15 см.

478. Начертите отрезок $CD$, длина которого равна $4 \text{ см}$. Найдите точку, удалённую от точки $C$ на $2,5 \text{ см}$, а от точки $D$ – на $3,5 \text{ см}$. Сколько существует таких точек?