Номер 476, страница 124 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

476. Отрезок $AM$ – медиана треугольника $ABC$, $AB > AC$. Докажите, что $\angle CAM > \angle BAM$.

Для доказательства данного утверждения воспользуемся методом дополнительного построения.

Выполним построение: продлим медиану $AM$ за точку $M$ на ее длину, отложив отрезок $MD$ так, что $AM = MD$. Соединим точку $D$ с точкой $C$.

Рассмотрим получившийся четырехугольник $ABDC$. Его диагонали $AD$ и $BC$ пересекаются в точке $M$. По построению $AM = MD$, а по определению медианы $BM = MC$. Так как диагонали четырехугольника $ABDC$ в точке пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник является параллелограммом.

По свойству параллелограмма его противолежащие стороны равны. Отсюда следует, что сторона $CD$ равна стороне $AB$.

Теперь рассмотрим треугольник $ACD$. По условию задачи дано, что $AB > AC$. Поскольку мы установили, что $CD = AB$, то в $\triangle ACD$ выполняется неравенство $CD > AC$.

Согласно теореме о соотношении сторон и углов треугольника, против большей стороны лежит больший угол. В $\triangle ACD$ против стороны $CD$ лежит угол $\angle CAD$, а против стороны $AC$ лежит угол $\angle ADC$. Так как $CD > AC$, то и $\angle CAD > \angle ADC$.

Проанализируем полученные углы:

• Угол $\angle CAD$ — это тот же самый угол, что и $\angle CAM$.
• Углы $\angle BAM$ и $\angle ADC$ являются накрест лежащими углами при параллельных прямых $AB$ и $CD$ (противоположные стороны параллелограмма) и секущей $AD$. Следовательно, эти углы равны: $\angle BAM = \angle ADC$.

Подставим $\angle CAM$ вместо $\angle CAD$ и $\angle BAM$ вместо $\angle ADC$ в выведенное ранее неравенство $\angle CAD > \angle ADC$. В результате получаем:

$\angle CAM > \angle BAM$

Утверждение доказано.

Ответ: Утверждение, что $\angle CAM > \angle BAM$ при заданных условиях, доказано.

476. Начертите окружность с центром $O$ и радиусом $3,5 \text{ см}$. Отметьте на этом рисунке какие-нибудь:

1) точки $A$ и $B$ такие, что $OA < 3,5 \text{ см}$, $OB < 3,5 \text{ см}$;

2) точки $C$ и $D$ такие, что $OC = 3,5 \text{ см}$, $OD = 3,5 \text{ см}$;

3) точки $E$ и $F$ такие, что $OE > 3,5 \text{ см}$, $OF > 3,5 \text{ см}$.