Номер 3, страница 127 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

3. Сформулируйте признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету.

Признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету формулируется следующим образом: если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого, то такие треугольники равны.

Для развернутого ответа приведем доказательство этого признака.

Пусть даны два прямоугольных треугольника $ \triangle ABC $ и $ \triangle A_1B_1C_1 $, у которых $ \angle C = \angle C_1 = 90^\circ $. По условию, их гипотенузы равны ($ AB = A_1B_1 $), и одна пара катетов также равна (например, $ AC = A_1C_1 $).

Чтобы доказать, что $ \triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1 $, нам достаточно показать, что и вторые катеты, $ BC $ и $ B_1C_1 $, также равны. Если мы это докажем, то треугольники будут равны по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам) или по двум катетам.

Воспользуемся теоремой Пифагора. Для треугольника $ \triangle ABC $ справедливо равенство:

$ AB^2 = AC^2 + BC^2 $

Отсюда выразим квадрат катета $ BC $:

$ BC^2 = AB^2 - AC^2 $

Аналогично для треугольника $ \triangle A_1B_1C_1 $:

$ A_1B_1^2 = A_1C_1^2 + B_1C_1^2 $

Выразим квадрат катета $ B_1C_1 $:

$ B_1C_1^2 = A_1B_1^2 - A_1C_1^2 $

Из условия задачи мы знаем, что $ AB = A_1B_1 $ и $ AC = A_1C_1 $. Это означает, что $ AB^2 = A_1B_1^2 $ и $ AC^2 = A_1C_1^2 $. Следовательно, правые части в выражениях для $ BC^2 $ и $ B_1C_1^2 $ равны:

$ AB^2 - AC^2 = A_1B_1^2 - A_1C_1^2 $

Отсюда следует, что $ BC^2 = B_1C_1^2 $. Так как длина стороны является положительной величиной, получаем $ BC = B_1C_1 $.

Таким образом, мы установили, что у треугольников $ \triangle ABC $ и $ \triangle A_1B_1C_1 $ соответственно равны все три стороны:

• $ AB = A_1B_1 $ (гипотенуза, по условию)
• $ AC = A_1C_1 $ (катет, по условию)
• $ BC = B_1C_1 $ (катет, доказано)

Следовательно, по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам), $ \triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1 $. Признак доказан.

Ответ: Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

3. Какую сторону прямоугольного треугольника называют катетом?