Страница 127 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Какой треугольник называют прямоугольным?

1. Прямоугольным треугольником называется треугольник, у которого один из углов прямой, то есть равен $90^\circ$.

Стороны такого треугольника имеют специальные названия:
- Две стороны, образующие прямой угол, называются катетами.
- Сторона, лежащая напротив прямого угла, называется гипотенузой. Гипотенуза всегда является самой длинной стороной в прямоугольном треугольнике.

Ключевые свойства прямоугольного треугольника:
1. Сумма двух острых углов (углов, меньших $90^\circ$) всегда равна $90^\circ$.
2. Для прямоугольного треугольника справедлива теорема Пифагора, которая гласит: квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов. Если обозначить длины катетов как $a$ и $b$, а длину гипотенузы как $c$, то эта зависимость выражается формулой: $c^2 = a^2 + b^2$.

Ответ: Прямоугольный треугольник — это треугольник, в котором один угол прямой, то есть равен $90^\circ$.

1. Какой треугольник называют прямоугольным?

2. Как называют стороны прямоугольного треугольника?

Прямоугольный треугольник — это треугольник, у которого один из углов прямой, то есть его градусная мера составляет $90^\circ$. Стороны в таком треугольнике имеют специальные названия в зависимости от их положения относительно прямого угла.

Катеты

Две стороны, которые образуют прямой угол, называются катетами. Они всегда короче третьей стороны.

Гипотенуза

Сторона, которая лежит напротив прямого угла, называется гипотенузой. Гипотенуза является самой длинной стороной в прямоугольном треугольнике.

Связь между длинами катетов и гипотенузы устанавливается теоремой Пифагора. Если длины катетов обозначить как $a$ и $b$, а длину гипотенузы как $c$, то теорема утверждает, что сумма квадратов длин катетов равна квадрату длины гипотенузы:

$a^2 + b^2 = c^2$

Ответ: Две стороны, образующие прямой угол, называются катетами, а сторона, лежащая напротив прямого угла, называется гипотенузой.

2. Какую сторону прямоугольного треугольника называют гипотенузой?

3. Сформулируйте признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету.

Признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету формулируется следующим образом: если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого, то такие треугольники равны.

Для развернутого ответа приведем доказательство этого признака.

Пусть даны два прямоугольных треугольника $ \triangle ABC $ и $ \triangle A_1B_1C_1 $, у которых $ \angle C = \angle C_1 = 90^\circ $. По условию, их гипотенузы равны ($ AB = A_1B_1 $), и одна пара катетов также равна (например, $ AC = A_1C_1 $).

Чтобы доказать, что $ \triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1 $, нам достаточно показать, что и вторые катеты, $ BC $ и $ B_1C_1 $, также равны. Если мы это докажем, то треугольники будут равны по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам) или по двум катетам.

Воспользуемся теоремой Пифагора. Для треугольника $ \triangle ABC $ справедливо равенство:

$ AB^2 = AC^2 + BC^2 $

Отсюда выразим квадрат катета $ BC $:

$ BC^2 = AB^2 - AC^2 $

Аналогично для треугольника $ \triangle A_1B_1C_1 $:

$ A_1B_1^2 = A_1C_1^2 + B_1C_1^2 $

Выразим квадрат катета $ B_1C_1 $:

$ B_1C_1^2 = A_1B_1^2 - A_1C_1^2 $

Из условия задачи мы знаем, что $ AB = A_1B_1 $ и $ AC = A_1C_1 $. Это означает, что $ AB^2 = A_1B_1^2 $ и $ AC^2 = A_1C_1^2 $. Следовательно, правые части в выражениях для $ BC^2 $ и $ B_1C_1^2 $ равны:

$ AB^2 - AC^2 = A_1B_1^2 - A_1C_1^2 $

Отсюда следует, что $ BC^2 = B_1C_1^2 $. Так как длина стороны является положительной величиной, получаем $ BC = B_1C_1 $.

Таким образом, мы установили, что у треугольников $ \triangle ABC $ и $ \triangle A_1B_1C_1 $ соответственно равны все три стороны:

• $ AB = A_1B_1 $ (гипотенуза, по условию)
• $ AC = A_1C_1 $ (катет, по условию)
• $ BC = B_1C_1 $ (катет, доказано)

Следовательно, по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам), $ \triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1 $. Признак доказан.

Ответ: Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

3. Какую сторону прямоугольного треугольника называют катетом?

4. Сформулируйте признак равенства прямоугольных треугольников по двум катетам.

Признак равенства прямоугольных треугольников по двум катетам формулируется следующим образом:

Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство:

Рассмотрим два прямоугольных треугольника: $△ABC$ и $△A₁B₁C₁$. Пусть углы $∠C$ и $∠C₁$ в этих треугольниках прямые, то есть $∠C = ∠C₁ = 90°$. Стороны $AC$ и $BC$ — это катеты треугольника $△ABC$, а стороны $A₁C₁$ и $B₁C₁$ — катеты треугольника $△A₁B₁C₁$.

По условию теоремы, катеты одного треугольника соответственно равны катетам другого:

$AC = A₁C₁$

$BC = B₁C₁$

Нам нужно доказать, что $△ABC = △A₁B₁C₁$.

Этот признак является частным случаем первого признака равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). Этот признак гласит: если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

В нашем случае:

1. Сторона $AC$ треугольника $△ABC$ равна стороне $A₁C₁$ треугольника $△A₁B₁C₁$ (по условию).

2. Сторона $BC$ треугольника $△ABC$ равна стороне $B₁C₁$ треугольника $△A₁B₁C₁$ (по условию).

3. Угол $∠C$, заключенный между сторонами $AC$ и $BC$, равен углу $∠C₁$, заключенному между сторонами $A₁C₁$ и $B₁C₁$, так как оба угла прямые: $∠C = ∠C₁ = 90°$.

Таким образом, все условия первого признака равенства треугольников выполнены. Следовательно, треугольник $△ABC$ равен треугольнику $△A₁B₁C₁$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

4. Сформулируйте признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету.

5. Сформулируйте признак равенства прямоугольных треугольников по катету и прилежащему острому углу.

Признак равенства прямоугольных треугольников по катету и прилежащему острому углу формулируется следующим образом: если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Этот признак является следствием второго признака равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам). Приведем подробное доказательство.

Рассмотрим два прямоугольных треугольника, $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$, у которых прямые углы – это $\angle C$ и $\angle C_1$ соответственно.

Пусть по условию катет $AC$ равен катету $A_1C_1$, а прилежащий к нему острый угол $\angle A$ равен углу $\angle A_1$.
Дано:

• $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$ — прямоугольные ($\angle C = \angle C_1 = 90^\circ$)
• $AC = A_1C_1$ (равные катеты)
• $\angle A = \angle A_1$ (равные прилежащие острые углы)

Требуется доказать, что $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$.

Для доказательства воспользуемся вторым признаком равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам). Согласно этому признаку, если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

В нашем случае мы имеем сторону $AC$ в $\triangle ABC$ и сторону $A_1C_1$ в $\triangle A_1B_1C_1$. По условию, $AC = A_1C_1$.

Углы, прилежащие к стороне $AC$, это $\angle A$ и $\angle C$.
Углы, прилежащие к стороне $A_1C_1$, это $\angle A_1$ и $\angle C_1$.

Сравним эти углы:

1. $\angle A = \angle A_1$ (по условию).
2. $\angle C = \angle C_1 = 90^\circ$ (так как по определению это прямые углы в прямоугольных треугольниках).

Таким образом, сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника ($AC$, $\angle A$, $\angle C$) соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника ($A_1C_1$, $\angle A_1$, $\angle C_1$).

Следовательно, $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$ по второму признаку равенства треугольников. Что и требовалось доказать.

Ответ: Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого, то такие прямоугольные треугольники равны.

5. Сформулируйте признак равенства прямоугольных треугольников по двум катетам.

6. Сформулируйте признак равенства прямоугольных треугольников по катету и противолежащему острому углу.

Признак равенства прямоугольных треугольников по катету и противолежащему острому углу формулируется следующим образом:

Если катет и противолежащий ему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и противолежащему ему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Рассмотрим доказательство этого признака.

Пусть нам даны два прямоугольных треугольника: $\triangle ABC$ с прямым углом $\angle C$ и $\triangle A_1B_1C_1$ с прямым углом $\angle C_1$.

Дано:
1. $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$ – прямоугольные ($\angle C = \angle C_1 = 90^\circ$).
2. Катет $AC$ равен катету $A_1C_1$ ($AC = A_1C_1$).
3. Острый угол $\angle B$, противолежащий катету $AC$, равен острому углу $\angle B_1$, противолежащему катету $A_1C_1$ ($\angle B = \angle B_1$).

Доказать:
$\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$.

Доказательство:
Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^\circ$.
Для треугольника $\triangle ABC$ справедливо равенство: $\angle A + \angle B = 90^\circ$. Отсюда $\angle A = 90^\circ - \angle B$.
Для треугольника $\triangle A_1B_1C_1$ справедливо равенство: $\angle A_1 + \angle B_1 = 90^\circ$. Отсюда $\angle A_1 = 90^\circ - \angle B_1$.
Так как по условию $\angle B = \angle B_1$, то и правые части выражений для $\angle A$ и $\angle A_1$ равны. Следовательно, $\angle A = \angle A_1$.

Теперь мы можем сравнить треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам):

• $AC = A_1C_1$ (по условию).
• $\angle A = \angle A_1$ (по доказанному выше).
• $\angle C = \angle C_1 = 90^\circ$ (по условию).

Поскольку сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$.

Ответ: Если катет и противолежащий ему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и противолежащему ему острому углу другого, то такие треугольники равны.

6. Сформулируйте признак равенства прямоугольных треугольников по катету и прилежащему острому углу.

7. Сформулируйте признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и острому углу.

Формулировка признака равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и острому углу
Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство
Рассмотрим два прямоугольных треугольника, $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$, в которых прямые углы – это $\angle C$ и $\angle C_1$ соответственно ($\angle C = \angle C_1 = 90^\circ$).
Пусть по условию их гипотенузы равны: $AB = A_1B_1$.
Также пусть равен один из острых углов, например, угол, прилежащий к катету $AC$: $\angle A = \angle A_1$.
Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. Поскольку в прямоугольном треугольнике один из углов равен $90^\circ$, сумма двух острых углов также равна $90^\circ$.
Для $\triangle ABC$ имеем: $\angle A + \angle B = 90^\circ$.
Для $\triangle A_1B_1C_1$ имеем: $\angle A_1 + \angle B_1 = 90^\circ$.
Отсюда мы можем выразить вторые острые углы:
$\angle B = 90^\circ - \angle A$
$\angle B_1 = 90^\circ - \angle A_1$
Так как по условию $\angle A = \angle A_1$, то и $\angle B = \angle B_1$.
Теперь мы имеем, что в треугольниках $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$ сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника:
$AB = A_1B_1$ (по условию)
$\angle A = \angle A_1$ (по условию)
$\angle B = \angle B_1$ (из доказательства)
Следовательно, по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим углам), $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$.
Если бы изначально были равны другие острые углы ($\angle B = \angle B_1$), доказательство было бы аналогичным, и мы бы установили равенство углов $\angle A$ и $\angle A_1$.
Таким образом, признак доказан.

Ответ: Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого, то такие треугольники равны.

7. Сформулируйте признак равенства прямоугольных треугольников

по катету и противолежащему острому углу.

479. С помощью транспортира и линейки постройте прямоугольный треугольник:

1) катеты которого равны 3 см и 4 см;

2) один из катетов которого равен 2,5 см, а прилежащий к нему угол – $40^\circ$;

3) гипотенуза которого равна 6 см, а один из острых углов – $70^\circ$.

Обозначьте построенные треугольники, укажите в каждом из них катеты и гипотенузу.

1) катеты которого равны 3 см и 4 см

Для построения прямоугольного треугольника по двум катетам выполним следующие шаги:
1. С помощью линейки начертим прямую линию. Отметим на ней точку C, которая будет вершиной прямого угла.
2. От точки C вдоль прямой отложим отрезок CA длиной 3 см. Это будет первый катет.
3. С помощью транспортира в точке C построим прямой угол, то есть угол в $90^\circ$. Для этого приложим транспортир так, чтобы его центр совпал с точкой C, а нулевая отметка шкалы — с лучом CA. Отметим на транспортире $90^\circ$ и проведём через эту отметку и точку C второй луч.
4. На этом новом луче отложим от точки C отрезок CB длиной 4 см. Это будет второй катет.
5. Соединим точки A и B отрезком. Этот отрезок AB будет гипотенузой.
Полученный треугольник ABC является искомым прямоугольным треугольником.

Ответ: В построенном треугольнике ABC: $∠C = 90^\circ$; катеты AC = 3 см и BC = 4 см; гипотенуза — AB.

2) один из катетов которого равен 2,5 см, а прилежащий к нему угол — 40°

Для построения прямоугольного треугольника по катету и прилежащему острому углу выполним следующие шаги:
1. С помощью линейки начертим отрезок AC длиной 2,5 см. Это будет один из катетов.
2. Прилежащий к этому катету острый угол — это $∠A=40^\circ$. С помощью транспортира построим угол, равный $40^\circ$, с вершиной в точке A, так, чтобы одна его сторона лежала на луче AC. Проведём второй луч из точки A под этим углом.
3. Второй прилежащий угол к катету AC — это прямой угол $∠C=90^\circ$. С помощью транспортира построим в точке C угол, равный $90^\circ$, так, чтобы одна его сторона лежала на луче CA. Проведём второй луч из точки C перпендикулярно AC.
4. Точку пересечения лучей, проведённых из точек A и C, обозначим B.
Полученный треугольник ABC является искомым прямоугольным треугольником.

Ответ: В построенном треугольнике ABC: $∠C = 90^\circ$; катет AC = 2,5 см и прилежащий к нему острый угол $∠A = 40^\circ$; второй катет — BC; гипотенуза — AB.

3) гипотенуза которого равна 6 см, а один из острых углов — 70°

Для построения прямоугольного треугольника по гипотенузе и острому углу выполним следующие шаги:
1. С помощью линейки начертим отрезок AB длиной 6 см. Это будет гипотенуза.
2. Пусть один из острых углов, например, при вершине A, равен $70^\circ$. С помощью транспортира построим угол $∠A = 70^\circ$, одной из сторон которого является отрезок AB. Проведём из точки A луч под этим углом.
3. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $90^\circ$. Следовательно, второй острый угол, при вершине B, будет равен $90^\circ - 70^\circ = 20^\circ$.
4. С помощью транспортира построим угол $∠B = 20^\circ$ с вершиной в точке B, так, чтобы одной из его сторон был отрезок BA. Проведём из точки B луч под этим углом в ту же полуплоскость, что и луч из точки A.
5. Точку пересечения двух построенных лучей обозначим C.
Треугольник ABC является искомым, так как угол C в нём равен $180^\circ - (70^\circ + 20^\circ) = 90^\circ$.

Ответ: В построенном треугольнике ABC: гипотенуза AB = 6 см; острые углы $∠A = 70^\circ$ и $∠B = 20^\circ$; прямой угол $∠C = 90^\circ$; катеты — AC и BC.

479. Начертите окружность, диаметр которой равен 7 см. Отметьте на окружности точку A. Найдите на окружности точки, удалённые от точки A на 4 см.