Страница 129 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

490. На рисунке 302 $AB \perp BC$, $CD \perp BC$, $AC = BD$. Докажите, что $AB = CD$.

Рис. 302

Рассмотрим треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle DCB$.

Согласно условию задачи, $AB \perp BC$ и $CD \perp BC$. Это означает, что углы $\angle ABC$ и $\angle DCB$ являются прямыми, то есть $\angle ABC = 90^\circ$ и $\angle DCB = 90^\circ$. Следовательно, треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle DCB$ являются прямоугольными.

Для доказательства равенства отрезков $AB$ и $CD$ докажем равенство этих треугольников. Сравним их элементы:

1. Сторона $BC$ является общей для обоих треугольников. В данных прямоугольных треугольниках это общий катет.

2. Сторона $AC$ является гипотенузой в $\triangle ABC$, а сторона $BD$ — гипотенузой в $\triangle DCB$. По условию дано, что $AC = BD$.

Таким образом, мы имеем два прямоугольных треугольника, у которых равны гипотенузы и есть общий катет. По признаку равенства прямоугольных треугольников (по гипотенузе и катету), треугольник $\triangle ABC$ равен треугольнику $\triangle DCB$.

Из равенства треугольников ($\triangle ABC = \triangle DCB$) следует равенство их соответствующих элементов. Катет $AB$ треугольника $\triangle ABC$ соответствует катету $CD$ треугольника $\triangle DCB$.

Следовательно, $AB = CD$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Равенство $AB = CD$ следует из того, что прямоугольные треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle DCB$ равны по гипотенузе ($AC=BD$ по условию) и общему катету ($BC$).

490. Отрезки $AB$ и $CD$ – диаметры окружности. Докажите, что $AC \parallel BD$.

491. На рисунке 303 $MO = FO$, $\angle MEO = \angle FKO = 90^\circ$. Докажите, что $\triangle MEO = \triangle FKO$.

Рис. 303

Рассмотрим треугольники $ \Delta MEO $ и $ \Delta FKO $.

Согласно условию задачи, $ \angle MEO = \angle FKO = 90^\circ $, поэтому оба треугольника являются прямоугольными.

Сравним элементы этих прямоугольных треугольников:

1. Гипотенуза $ MO $ равна гипотенузе $ FO $ ($ MO = FO $) по условию.
2. Острый угол $ \angle MOE $ равен острому углу $ \angle FOK $ ($ \angle MOE = \angle FOK $) как вертикальные углы.

По признаку равенства прямоугольных треугольников, если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого, то такие треугольники равны.

Следовательно, $ \Delta MEO = \Delta FKO $ по гипотенузе и острому углу, что и требовалось доказать.

Ответ: Треугольники $ \Delta MEO $ и $ \Delta FKO $ равны по признаку равенства прямоугольных треугольников: по гипотенузе ($ MO = FO $) и острому углу ($ \angle MOE = \angle FOK $).

491. Хорда пересекает диаметр окружности под углом $30^\circ$ и делит его на отрезки длиной 4 см и 10 см. Найдите расстояние от центра окружности до этой хорды.

492. Из точек $A$ и $B$, лежащих в одной полуплоскости относительно прямой $a$, опущены перпендикуляры $AM$ и $BK$ на эту прямую, $AM = BK$.

Докажите, что $AK = BM$.

Для доказательства равенства отрезков $AK$ и $BM$ рассмотрим два треугольника: $\triangle AKM$ и $\triangle BMK$.

По условию задачи $AM$ и $BK$ являются перпендикулярами к прямой $a$. Это означает, что углы, которые они образуют с прямой $a$, являются прямыми:

$\angle AMK = 90^\circ$

$\angle BKM = 90^\circ$

Следовательно, треугольники $\triangle AKM$ и $\triangle BMK$ являются прямоугольными.

Теперь сравним эти два прямоугольных треугольника:

• Катет $AM$ треугольника $\triangle AKM$ равен катету $BK$ треугольника $\triangle BMK$ по условию ($AM = BK$).
• Катет $MK$ является общим для обоих треугольников.

По признаку равенства прямоугольных треугольников, если два катета одного треугольника соответственно равны двум катетам другого треугольника, то такие треугольники равны. В нашем случае $\triangle AKM = \triangle BMK$.

Из равенства треугольников следует и равенство их соответственных сторон. Гипотенуза $AK$ треугольника $\triangle AKM$ соответствует гипотенузе $BM$ треугольника $\triangle BMK$.

Таким образом, $AK = BM$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Равенство отрезков $AK$ и $BM$ следует из равенства прямоугольных треугольников $\triangle AKM$ и $\triangle BMK$ по двум катетам ($AM = BK$ по условию и $MK$ — общий катет).

492. Хорда $CD$ пересекает диаметр $AB$ в точке $M$, $CE \perp AB$, $DF \perp AB$, $\angle AMC = 60^{\circ}$, $ME = 18$ см, $MF = 12$ см (рис. 285). Найдите хорду $CD$.

Рис. 285

Рис. 286

493. На рисунке 304 $AB = CD$, $AB \parallel CD$, $BM \perp AC$, $DK \perp AC$. Докажите, что $BM = DK$.

Рис. 304

Чтобы доказать, что $BM = DK$, рассмотрим два треугольника: $\triangle BMA$ и $\triangle DKC$.

1. Определение типа треугольников.

По условию задачи $BM \perp AC$ и $DK \perp AC$. Это означает, что углы $\angle BMA$ и $\angle DKC$ являются прямыми, то есть $\angle BMA = \angle DKC = 90^\circ$. Следовательно, треугольники $\triangle BMA$ и $\triangle DKC$ — прямоугольные.

2. Сравнение элементов треугольников.

• Гипотенузы $AB$ и $CD$ этих треугольников равны по условию: $AB = CD$.
• Рассмотрим углы $\angle BAM$ и $\angle DCK$. По условию, прямые $AB$ и $CD$ параллельны ($AB \parallel CD$), а прямая $AC$ является секущей. Углы $\angle BAM$ и $\angle DCK$ являются накрест лежащими углами при параллельных прямых и секущей, следовательно, они равны: $\angle BAM = \angle DCK$.

3. Вывод о равенстве треугольников.

Так как прямоугольные треугольники $\triangle BMA$ и $\triangle DKC$ имеют равные гипотенузы ($AB = CD$) и равный острый угол ($\angle BAM = \angle DCK$), то эти треугольники равны по признаку равенства прямоугольных треугольников (по гипотенузе и острому углу).

4. Заключение.

Из равенства треугольников ($\triangle BMA \cong \triangle DKC$) следует равенство их соответствующих сторон. Катет $BM$ лежит напротив угла $\angle BAM$, а катет $DK$ лежит напротив равного ему угла $\angle DCK$. Таким образом, катеты $BM$ и $DK$ равны: $BM = DK$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $BM = DK$ доказано на основании равенства прямоугольных треугольников $\triangle BMA$ и $\triangle DKC$ по гипотенузе и острому углу.

493. Найдите геометрическое место центров окружностей данного радиуса, проходящих через данную точку.

494. На рисунке 305 $AB = BC$, $CD \perp AB$, $AE \perp BC$. Докажите, что $BE = BD$.

Рис. 305

Для доказательства равенства отрезков $BE$ и $BD$ рассмотрим треугольники $ \triangle AEB $ и $ \triangle CDB $.

По условию задачи дано, что $ CD \perp AB $ и $ AE \perp BC $. Из этого следует, что углы $ \angle CDB $ и $ \angle AEB $ являются прямыми, то есть $ \angle CDB = 90^\circ $ и $ \angle AEB = 90^\circ $. Таким образом, треугольники $ \triangle CDB $ и $ \triangle AEB $ являются прямоугольными.

Сравним эти два прямоугольных треугольника:

• Гипотенуза $BC$ треугольника $ \triangle CDB $ равна гипотенузе $AB$ треугольника $ \triangle AEB $ по условию ($ AB = BC $).

• Угол $ \angle B $ (или $ \angle ABC $) является общим острым углом для обоих треугольников.

Так как гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого, то эти треугольники равны. То есть, $ \triangle CDB \cong \triangle AEB $.

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон. Катет $BD$ треугольника $ \triangle CDB $ и катет $BE$ треугольника $ \triangle AEB $ являются соответствующими, поскольку они оба прилежат к общему углу $ \angle B $.

Следовательно, $ BE = BD $, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Прямоугольные треугольники $ \triangle CDB $ и $ \triangle AEB $ равны по гипотенузе и острому углу, поэтому их соответствующие катеты $BD$ и $BE$ также равны.

494. Найдите геометрическое место центров окружностей, проходящих через две данные точки.

495. На биссектрисе угла с вершиной в точке $B$ отметили точку $M$, из которой опустили перпендикуляры $MD$ и $MC$ на стороны угла. Докажите, что $MD = MC$.

Рассмотрим треугольники, образовавшиеся в результате построений: $\triangle MDB$ и $\triangle MCB$.

По условию задачи, из точки $M$ опущены перпендикуляры $MD$ и $MC$ на стороны угла. Это означает, что углы, образованные этими перпендикулярами и сторонами угла, являются прямыми: $\angle MDB = 90^\circ$ и $\angle MCB = 90^\circ$. Следовательно, треугольники $\triangle MDB$ и $\triangle MCB$ являются прямоугольными.

Сравним эти два прямоугольных треугольника:
1. Сторона $BM$ является общей для обоих треугольников. Так как она лежит напротив прямых углов $\angle MDB$ и $\angle MCB$, она является их общей гипотенузой.
2. По условию, точка $M$ лежит на биссектрисе угла с вершиной $B$. Биссектриса делит угол на два равных угла, поэтому $\angle DBM = \angle CBM$.

Таким образом, мы имеем два прямоугольных треугольника, $\triangle MDB$ и $\triangle MCB$, которые равны по гипотенузе и острому углу.

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих элементов. Катет $MD$ в треугольнике $\triangle MDB$ лежит напротив угла $\angle DBM$. Катет $MC$ в треугольнике $\triangle MCB$ лежит напротив угла $\angle CBM$. Поскольку $\angle DBM = \angle CBM$, то соответствующие им катеты $MD$ и $MC$ также равны.

Итак, $MD = MC$, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство отрезков $MD$ и $MC$ доказано. Оно следует из того, что прямоугольные треугольники $\triangle MDB$ и $\triangle MCB$ равны по общей гипотенузе $BM$ и равным острым углам ($\angle DBM = \angle CBM$), а отрезки $MD$ и $MC$ являются их соответствующими катетами.

495. Найдите ГМТ, равноудалённых от двух данных пересекающихся прямых.

496. На сторонах угла с вершиной в точке $B$ отметили точки $A$ и $C$ так, что $AB = BC$. Через точки $A$ и $C$ провели прямые, перпендикулярные сторонам $BA$ и $BC$ соответственно, которые пересекаются в точке $O$. Докажите, что луч $BO$ — биссектриса угла $ABC$.

Рассмотрим треугольники $\triangle ABO$ и $\triangle CBO$.

Согласно условию задачи, через точки A и C проведены прямые, перпендикулярные сторонам BA и BC соответственно, которые пересекаются в точке O. Это означает, что $\angle OAB = 90^\circ$ и $\angle OCB = 90^\circ$. Следовательно, треугольники $\triangle ABO$ и $\triangle CBO$ являются прямоугольными.

Сравним эти два прямоугольных треугольника:

• Сторона $AB$ равна стороне $BC$ ($AB = BC$) по условию задачи. Эти стороны являются катетами в треугольниках $\triangle ABO$ и $\triangle CBO$ соответственно.
• Сторона $BO$ является общей для обоих треугольников. Эта сторона является гипотенузой в обоих прямоугольных треугольниках.

Таким образом, прямоугольные треугольники $\triangle ABO$ и $\triangle CBO$ равны по гипотенузе и катету.

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих углов. В частности, угол, лежащий против катета AO, равен углу, лежащему против катета CO (так как $AO=CO$ из равенства треугольников), то есть $\angle ABO = \angle CBO$.

По определению, луч, исходящий из вершины угла и делящий его на два равных угла, является его биссектрисой. Следовательно, луч BO является биссектрисой угла $\angle ABC$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

496. Найдите геометрическое место вершин равнобедренных треугольников, имеющих общее основание.

497. Докажите, что высоты равнобедренного треугольника, проведённые к его боковым сторонам, равны.

Дано:

Пусть дан равнобедренный треугольник $ \triangle ABC $ с основанием $ AC $. По определению равнобедренного треугольника, его боковые стороны равны: $ AB = BC $. В этом треугольнике проведены две высоты: $ AH_1 $ к боковой стороне $ BC $ (то есть $ AH_1 \perp BC $) и $ CH_2 $ к боковой стороне $ AB $ (то есть $ CH_2 \perp AB $).

Доказать:

Необходимо доказать, что высоты, проведённые к боковым сторонам, равны между собой, то есть $ AH_1 = CH_2 $.

Доказательство:

Рассмотрим два прямоугольных треугольника: $ \triangle ABH_1 $ и $ \triangle CBH_2 $. Они являются прямоугольными, так как $ AH_1 $ и $ CH_2 $ — высоты, а значит $ \angle AH_1B = 90^\circ $ и $ \angle CH_2B = 90^\circ $.

Сравним эти два треугольника:

1. Гипотенуза $ AB $ треугольника $ \triangle ABH_1 $ равна гипотенузе $ CB $ треугольника $ \triangle CBH_2 $, так как это боковые стороны равнобедренного треугольника $ \triangle ABC $ по условию ($ AB = BC $).

2. Угол $ \angle B $ является общим для обоих треугольников $ \triangle ABH_1 $ и $ \triangle CBH_2 $.

Следовательно, прямоугольные треугольники $ \triangle ABH_1 $ и $ \triangle CBH_2 $ равны по гипотенузе и острому углу.

Из равенства треугольников ($ \triangle ABH_1 \cong \triangle CBH_2 $) следует равенство их соответствующих элементов. Катеты $ AH_1 $ и $ CH_2 $ лежат напротив общего угла $ \angle B $, значит, они являются соответствующими сторонами. Таким образом, $ AH_1 = CH_2 $.

Что и требовалось доказать.

Ответ:

Высоты равнобедренного треугольника, проведённые к его боковым сторонам, равны. Это доказано через равенство прямоугольных треугольников, которые эти высоты образуют. Треугольники равны по гипотенузе (боковой стороне исходного треугольника) и общему острому углу (углу при вершине исходного треугольника).

497. Найдите ГМТ, равноудалённых от двух параллельных прямых.

498. Докажите, что если две высоты треугольника равны, то этот треугольник является равнобедренным.

Пусть в треугольнике $ABC$ проведены две высоты $AD$ и $BE$ к прямым, содержащим стороны $BC$ и $AC$ соответственно. По условию, длины этих высот равны: $AD = BE$. Требуется доказать, что треугольник $ABC$ является равнобедренным, то есть что стороны $AC$ и $BC$ равны.

Рассмотрим два прямоугольных треугольника: $\triangle ADC$ и $\triangle BEC$.

Эти треугольники являются прямоугольными, так как $AD$ и $BE$ — высоты, а значит, по определению они перпендикулярны сторонам, к которым проведены: $\angle ADC = \angle BEC = 90^\circ$.

Сравним эти два треугольника. У них:

• $AD = BE$ (равенство катетов по условию задачи).
• Угол при вершине $C$ является общим для обоих треугольников ($\angle ACD = \angle BCE$). Если угол $C$ острый, то это непосредственно угол $\angle ACB$. Если угол $C$ тупой, то высоты опущены на продолжения сторон, и углы $\angle ACD$ и $\angle BCE$ равны как углы, смежные с одним и тем же углом $\angle ACB$ (их величина равна $180^\circ - \angle ACB$).

Таким образом, прямоугольные треугольники $\triangle ADC$ и $\triangle BEC$ равны по катету и противолежащему острому углу (этот признак является частным случаем признака равенства треугольников по стороне и двум прилежащим углам, поскольку если равны два угла, то равны и третьи).

Из равенства треугольников ($\triangle ADC \cong \triangle BEC$) следует и равенство их соответствующих сторон. В частности, равны их гипотенузы, которые являются сторонами исходного треугольника $ABC$:

$AC = BC$.

Поскольку в треугольнике $ABC$ две стороны равны, он является равнобедренным по определению. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

498. Найдите ГМТ, удалённых от данной прямой на заданное расстояние.