Страница 132 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Какая из сторон прямоугольного треугольника является наибольшей?

1. В прямоугольном треугольнике наибольшей стороной является гипотенуза. Гипотенуза — это сторона, лежащая напротив прямого угла ($90^\circ$). Существует два основных способа это доказать.

Доказательство через соотношение углов и сторон

Сумма всех углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. В прямоугольном треугольнике один угол прямой, то есть равен $90^\circ$. Следовательно, на два других (острых) угла приходится $180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$. Это означает, что каждый из двух оставшихся углов строго меньше $90^\circ$.
Таким образом, прямой угол является наибольшим углом в прямоугольном треугольнике. В геометрии есть теорема, которая гласит: в треугольнике против большего угла лежит большая сторона. Так как гипотенуза лежит напротив самого большого угла ($90^\circ$), она и является самой большой стороной.

Доказательство через теорему Пифагора

Теорема Пифагора связывает длины сторон прямоугольного треугольника. Если обозначить длины катетов (сторон, образующих прямой угол) как $a$ и $b$, а длину гипотенузы как $c$, то теорема записывается формулой:

$c^2 = a^2 + b^2$

Поскольку длины сторон $a$ и $b$ — это положительные числа, то их квадраты $a^2$ и $b^2$ также положительны. Из формулы видно, что квадрат гипотенузы $c^2$ равен сумме двух положительных чисел, а значит, он больше каждого из них по отдельности:

$c^2 > a^2$ и $c^2 > b^2$

Так как длины сторон являются положительными величинами, из этого следует, что:

$c > a$ и $c > b$

Это означает, что гипотенуза $c$ длиннее каждого из катетов, и, следовательно, является наибольшей стороной треугольника.

Ответ: наибольшей стороной прямоугольного треугольника является гипотенуза.

1. Какая из сторон прямоугольного треугольника является наибольшей?

2. Каково свойство катета, лежащего против угла, равного $30^\circ$?

Свойство катета, лежащего против угла в 30 градусов, является одним из фундаментальных в геометрии прямоугольных треугольников. Оно формулируется следующим образом: в прямоугольном треугольнике катет, противолежащий углу в $30^\circ$, равен половине гипотенузы.

Для доказательства этого свойства рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$, в котором угол $\angle C = 90^\circ$, а угол $\angle A = 30^\circ$. Нам необходимо доказать, что катет $BC$ равен половине гипотенузы $AB$, то есть $BC = \frac{1}{2}AB$.

Доказательство:

1. Пристроим к треугольнику $ABC$ еще один такой же треугольник $ADC$. Для этого на продолжении катета $BC$ за точку $C$ отложим отрезок $CD$, равный $BC$. Соединим точки $A$ и $D$.

2. В результате мы получим треугольник $ABD$. Треугольники $ABC$ и $ADC$ равны по двум катетам: у них катет $AC$ — общий, а катеты $BC$ и $CD$ равны по построению. Равенство по первому признаку (две стороны и угол между ними), так как $\angle ACB = \angle ACD = 90^\circ$.

3. Из равенства треугольников $ABC$ и $ADC$ следует равенство соответствующих элементов: $AB = AD$ и $\angle BAC = \angle DAC = 30^\circ$.

4. Рассмотрим треугольник $ABD$. Угол $\angle BAD$ равен сумме углов $\angle BAC$ и $\angle DAC$: $\angle BAD = 30^\circ + 30^\circ = 60^\circ$.

5. Так как $AB = AD$, треугольник $ABD$ является равнобедренным с основанием $BD$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Найдем их. Сумма углов треугольника равна $180^\circ$. Значит, $\angle B + \angle D = 180^\circ - \angle BAD = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$. Так как $\angle B = \angle D$, то каждый из них равен $120^\circ / 2 = 60^\circ$.

6. Таким образом, в треугольнике $ABD$ все три угла равны $60^\circ$ ($\angle BAD = 60^\circ, \angle B = 60^\circ, \angle D = 60^\circ$). Это означает, что треугольник $ABD$ — равносторонний, и все его стороны равны: $AB = BD = AD$.

7. По нашему построению, сторона $BD$ состоит из двух равных отрезков $BC$ и $CD$. Следовательно, $BD = BC + CD = 2 \cdot BC$.

8. Так как $AB = BD$, мы можем заменить $BD$ на $AB$ в предыдущем равенстве: $AB = 2 \cdot BC$.

9. Разделив обе части равенства на 2, получаем искомое соотношение: $BC = \frac{1}{2}AB$.

Свойство доказано.

Ответ: В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в $30^\circ$, равен половине гипотенузы.

2. Каково свойство катета, лежащего против угла, равного $30^\circ$?

3. Какова градусная мера угла, лежащего против катета, равного половине гипотенузы?

Этот вопрос относится к известному свойству прямоугольного треугольника. Рассмотрим прямоугольный треугольник, в котором один из катетов равен половине гипотенузы.

Пусть у нас есть прямоугольный треугольник, где $c$ — длина гипотенузы, а $a$ — длина катета, о котором идет речь в задаче. Угол, лежащий напротив этого катета, обозначим как $\alpha$.

По условию задачи, $a = \frac{1}{2}c$.

Синус угла в прямоугольном треугольнике определяется как отношение длины противолежащего катета к длине гипотенузы. Для угла $\alpha$ это записывается так:
$\sin(\alpha) = \frac{a}{c}$

Подставим в эту формулу значение $a$ из условия:
$\sin(\alpha) = \frac{\frac{1}{2}c}{c} = \frac{1}{2}$

Углом, синус которого равен $\frac{1}{2}$, является угол в $30^\circ$. Так как в прямоугольном треугольнике острые углы могут быть только от $0^\circ$ до $90^\circ$, то искомый угол однозначно равен $30^\circ$.

Это свойство можно сформулировать как теорему: катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в $30^\circ$, равен половине гипотенузы. Обратное утверждение также верно: если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен $30^\circ$.

Ответ: $30^\circ$

3. Какова градусная мера угла, лежащего против катета, равного половине гипотенузы?

516. Стороны прямоугольного треугольника равны 24 см, 10 см и 26 см.

Чему равен наибольший катет данного треугольника?

В прямоугольном треугольнике гипотенуза является самой длинной стороной, а две другие стороны, которые образуют прямой угол, называются катетами.

Даны стороны треугольника: 10 см, 24 см и 26 см. Чтобы определить, какие из них являются катетами, а какая — гипотенузой, нужно сравнить их длины.

Сравниваем длины сторон: $10 < 24 < 26$.

Самая длинная сторона равна 26 см. Следовательно, это гипотенуза.

Оставшиеся две стороны — 10 см и 24 см — являются катетами данного прямоугольного треугольника.

Чтобы найти наибольший катет, сравним их длины: 24 см > 10 см.

Таким образом, наибольший катет равен 24 см.

Для проверки можно использовать теорему Пифагора, согласно которой сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы ($a^2 + b^2 = c^2$):

$10^2 + 24^2 = 100 + 576 = 676$

$26^2 = 676$

Так как $676 = 676$, треугольник действительно является прямоугольным.

Ответ: 24 см

516. Прямая CD касается окружности с центром O в точке A, отрезок AB – хорда окружности, $\angle AOB = 80^{\circ}$ (см. рис. 295). Найдите $\angle BAC$.

Рис. 295

517. Стороны прямоугольного треугольника равны 15 см, 17 см и 8 см. Укажите длину гипотенузы и длину меньшего катета.

В прямоугольном треугольнике гипотенуза — это сторона, лежащая напротив прямого угла, и она всегда является самой длинной стороной. Две другие стороны, образующие прямой угол, называются катетами.

Даны длины сторон треугольника: 15 см, 17 см и 8 см.

Длина гипотенузы

Чтобы найти гипотенузу, нужно выбрать самую длинную сторону из предложенных. Сравним длины сторон: $17 > 15 > 8$.

Самая большая длина составляет 17 см, следовательно, это и есть длина гипотенузы.

Ответ: длина гипотенузы равна 17 см.

Длина меньшего катета

Оставшиеся две стороны являются катетами. Их длины — 15 см и 8 см. Чтобы найти меньший из катетов, сравним их длины: $8 < 15$.

Меньшая длина равна 8 см, следовательно, это длина меньшего катета.

Для проверки можно применить теорему Пифагора, согласно которой квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов ($c^2 = a^2 + b^2$):

$17^2 = 8^2 + 15^2$

$289 = 64 + 225$

$289 = 289$

Равенство верно, значит, наши определения сторон верны.

Ответ: длина меньшего катета равна 8 см.

517. Дана окружность, диаметр которой равен 6 см. Прямая a удалена от её центра на: 1) 2 см; 2) 3 см; 3) 6 см. В каком случае прямая a является касательной к окружности?