Номер 2, страница 132 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Вопросы. § 19. Свойства прямоугольного треугольника. Глава 3. Параллельные прямые. Сумма углов треугольника - номер 2, страница 132.

2. Каково свойство катета, лежащего против угла, равного $30^\circ$?

Свойство катета, лежащего против угла в 30 градусов, является одним из фундаментальных в геометрии прямоугольных треугольников. Оно формулируется следующим образом: в прямоугольном треугольнике катет, противолежащий углу в $30^\circ$, равен половине гипотенузы.

Для доказательства этого свойства рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$, в котором угол $\angle C = 90^\circ$, а угол $\angle A = 30^\circ$. Нам необходимо доказать, что катет $BC$ равен половине гипотенузы $AB$, то есть $BC = \frac{1}{2}AB$.

Доказательство:

1. Пристроим к треугольнику $ABC$ еще один такой же треугольник $ADC$. Для этого на продолжении катета $BC$ за точку $C$ отложим отрезок $CD$, равный $BC$. Соединим точки $A$ и $D$.

2. В результате мы получим треугольник $ABD$. Треугольники $ABC$ и $ADC$ равны по двум катетам: у них катет $AC$ — общий, а катеты $BC$ и $CD$ равны по построению. Равенство по первому признаку (две стороны и угол между ними), так как $\angle ACB = \angle ACD = 90^\circ$.

3. Из равенства треугольников $ABC$ и $ADC$ следует равенство соответствующих элементов: $AB = AD$ и $\angle BAC = \angle DAC = 30^\circ$.

4. Рассмотрим треугольник $ABD$. Угол $\angle BAD$ равен сумме углов $\angle BAC$ и $\angle DAC$: $\angle BAD = 30^\circ + 30^\circ = 60^\circ$.

5. Так как $AB = AD$, треугольник $ABD$ является равнобедренным с основанием $BD$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Найдем их. Сумма углов треугольника равна $180^\circ$. Значит, $\angle B + \angle D = 180^\circ - \angle BAD = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$. Так как $\angle B = \angle D$, то каждый из них равен $120^\circ / 2 = 60^\circ$.

6. Таким образом, в треугольнике $ABD$ все три угла равны $60^\circ$ ($\angle BAD = 60^\circ, \angle B = 60^\circ, \angle D = 60^\circ$). Это означает, что треугольник $ABD$ — равносторонний, и все его стороны равны: $AB = BD = AD$.

7. По нашему построению, сторона $BD$ состоит из двух равных отрезков $BC$ и $CD$. Следовательно, $BD = BC + CD = 2 \cdot BC$.

8. Так как $AB = BD$, мы можем заменить $BD$ на $AB$ в предыдущем равенстве: $AB = 2 \cdot BC$.

9. Разделив обе части равенства на 2, получаем искомое соотношение: $BC = \frac{1}{2}AB$.

Свойство доказано.

Ответ: В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в $30^\circ$, равен половине гипотенузы.

2. Каково свойство катета, лежащего против угла, равного $30^\circ$?