Номер 512, страница 130 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 18. Прямоугольный треугольник. Глава 3. Параллельные прямые. Сумма углов треугольника - номер 512, страница 130.

512. Углы $ABC$ и $DBC$ смежные, луч $BM$ принадлежит углу $ABC$, луч $BK$ – углу $DBC$, $\angle MBC = \angle CBK = 30^\circ$, угол $DBK$ в 5 раз больше угла $ABM$. Найдите углы $ABC$ и $DBC$.

Поскольку углы $∠ABC$ и $∠DBC$ являются смежными, их сумма равна $180°$.
$∠ABC + ∠DBC = 180°$

Согласно условию, луч $BM$ принадлежит углу $ABC$, а луч $BK$ — углу $DBC$. Это означает, что:
$∠ABC = ∠ABM + ∠MBC$
$∠DBC = ∠CBK + ∠DBK$

Из условия задачи известно, что $∠MBC = ∠CBK = 30°$. Также дано, что угол $∠DBK$ в 5 раз больше угла $∠ABM$.

Обозначим градусную меру угла $∠ABM$ как $x$.
$∠ABM = x$
Тогда, согласно условию:
$∠DBK = 5 \cdot ∠ABM = 5x$

Теперь выразим величины углов $∠ABC$ и $∠DBC$ через $x$:
$∠ABC = ∠ABM + ∠MBC = x + 30°$
$∠DBC = ∠CBK + ∠DBK = 30° + 5x$

Подставим эти выражения в уравнение для смежных углов:
$(x + 30°) + (30° + 5x) = 180°$

Решим полученное уравнение:
$6x + 60° = 180°$
$6x = 180° - 60°$
$6x = 120°$
$x = \frac{120°}{6}$
$x = 20°$

Таким образом, мы нашли, что $∠ABM = 20°$.

Теперь можем вычислить искомые углы $∠ABC$ и $∠DBC$:
$∠ABC = x + 30° = 20° + 30° = 50°$
$∠DBC = 5x + 30° = 5 \cdot 20° + 30° = 100° + 30° = 130°$

Ответ: $∠ABC = 50°$, $∠DBC = 130°$.

512. Докажите, что равные хорды окружности равноудалены от её центра.