Номер 513, страница 131 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 18. Прямоугольный треугольник. Глава 3. Параллельные прямые. Сумма углов треугольника - номер 513, страница 131.

513. На боковых сторонах $AB$ и $BC$ равнобедренного треугольника $ABC$ отметили соответственно точки $M$ и $K$ так, что $BM = BK$. Отрезки $AK$ и $CM$ пересекаются в точке $O$. Докажите, что:

1) треугольник $AOC$ равнобедренный;

2) прямая $BO$ – серединный перпендикуляр отрезка $AC$.

Дано:

Треугольник $ABC$ — равнобедренный, $AB = BC$.

Точки $M \in AB$ и $K \in BC$.

$BM = BK$.

Отрезки $AK$ и $CM$ пересекаются в точке $O$.

Доказать:

1) треугольник $AOC$ — равнобедренный;

2) прямая $BO$ — серединный перпендикуляр отрезка $AC$.

Доказательство:

1) Докажем, что треугольник AOC равнобедренный.

Рассмотрим треугольники $AMC$ и $CKA$.

По условию, треугольник $ABC$ равнобедренный с основанием $AC$, следовательно, боковые стороны равны $AB = BC$ и углы при основании равны $\angle BAC = \angle BCA$.

Найдем длины отрезков $AM$ и $CK$. Так как точка $M$ лежит на стороне $AB$, а точка $K$ на стороне $BC$, то:

$AM = AB - BM$

$CK = BC - BK$

Поскольку $AB = BC$ (по условию равнобедренного треугольника) и $BM = BK$ (по условию задачи), то, вычитая из равных отрезков равные, получаем, что $AM = CK$.

Теперь сравним треугольники $AMC$ и $CKA$:

• $AM = CK$ (доказано выше).
• $\angle MAC = \angle KCA$ (так как это углы при основании равнобедренного треугольника $ABC$).
• $AC$ — общая сторона.

Следовательно, $\triangle AMC = \triangle CKA$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих углов: $\angle ACM = \angle CAK$.

Углы $\angle ACM$ и $\angle CAK$ являются также углами треугольника $AOC$, а именно: $\angle OCA = \angle ACM$ и $\angle OAC = \angle CAK$.

Так как в треугольнике $AOC$ углы при основании $AC$ равны ($\angle OAC = \angle OCA$), то треугольник $AOC$ является равнобедренным, а его боковые стороны $AO$ и $CO$ равны.

Ответ: Треугольник $AOC$ является равнобедренным, так как из равенства треугольников $AMC$ и $CKA$ следует равенство углов $\angle OAC$ и $\angle OCA$, что по признаку равнобедренного треугольника означает, что стороны $AO$ и $CO$ равны.

2) Докажем, что прямая BO – серединный перпендикуляр отрезка AC.

Рассмотрим треугольники $ABO$ и $CBO$.

• $AB = CB$ (по условию, так как $\triangle ABC$ равнобедренный).
• $AO = CO$ (доказано в пункте 1).
• $BO$ — общая сторона.

Следовательно, $\triangle ABO = \triangle CBO$ по третьему признаку равенства треугольников (по трём сторонам).

Из равенства этих треугольников следует равенство их соответствующих углов, в частности $\angle ABO = \angle CBO$.

Это означает, что отрезок $BO$ является биссектрисой угла $ABC$.

В равнобедренном треугольнике $ABC$ биссектриса, проведённая из вершины $B$ к основанию $AC$, является одновременно медианой и высотой.

• Как высота, $BO$ перпендикулярна основанию $AC$ ($BO \perp AC$).
• Как медиана, $BO$ делит основание $AC$ пополам.

Прямая, которая перпендикулярна отрезку и проходит через его середину, по определению является серединным перпендикуляром. Таким образом, прямая $BO$ — серединный перпендикуляр отрезка $AC$.

Ответ: Прямая $BO$ является серединным перпендикуляром к отрезку $AC$, так как из равенства треугольников $ABO$ и $CBO$ следует, что $BO$ — биссектриса угла $ABC$, а в равнобедренном треугольнике $ABC$ биссектриса, проведенная к основанию, является также медианой и высотой.

513. Докажите, что если хорды окружности равноудалены от её центра, то они равны.