Номер 511, страница 130 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 18. Прямоугольный треугольник. Глава 3. Параллельные прямые. Сумма углов треугольника - номер 511, страница 130.

511. Докажите равенство треугольников по двум углам и высоте, проведённой из вершины третьего угла.

Для доказательства равенства треугольников по двум углам и высоте, проведённой из вершины третьего угла, рассмотрим два треугольника $ \triangle ABC $ и $ \triangle A_1B_1C_1 $.

Дано:
В $ \triangle ABC $ и $ \triangle A_1B_1C_1 $:
1. $ \angle A = \angle A_1 $
2. $ \angle B = \angle B_1 $
3. $ CH $ — высота, проведенная из вершины $ C $ к прямой $ AB $.
4. $ C_1H_1 $ — высота, проведенная из вершины $ C_1 $ к прямой $ A_1B_1 $.
5. $ CH = C_1H_1 $

Доказать:
$ \triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1 $

Доказательство:

1. По теореме о сумме углов треугольника, сумма углов в любом треугольнике равна $ 180^\circ $.
Для $ \triangle ABC $ имеем: $ \angle C = 180^\circ - (\angle A + \angle B) $.
Для $ \triangle A_1B_1C_1 $ имеем: $ \angle C_1 = 180^\circ - (\angle A_1 + \angle B_1) $.
Поскольку по условию $ \angle A = \angle A_1 $ и $ \angle B = \angle B_1 $, отсюда следует, что и третьи углы равны: $ \angle C = \angle C_1 $.

2. Теперь докажем, что сторона $ AC $ равна стороне $ A_1C_1 $. Для этого рассмотрим прямоугольные треугольники, образованные высотами $ CH $ и $ C_1H_1 $.Рассмотрим $ \triangle AHC $ и $ \triangle A_1H_1C_1 $. Они являются прямоугольными, так как $ CH $ и $ C_1H_1 $ — высоты, то есть $ \angle AHC = \angle A_1H_1C_1 = 90^\circ $.

Рассмотрим три возможных случая в зависимости от величины угла $ A $:

Случай 1: Угол $ A $ — острый ($ \angle A < 90^\circ $).
В этом случае основание высоты $ H $ лежит на стороне $ AB $. Угол $ \angle CAH $ совпадает с углом $ \angle A $.В прямоугольных $ \triangle AHC $ и $ \triangle A_1H_1C_1 $ имеем:
- $ CH = C_1H_1 $ (по условию)
- $ \angle A = \angle A_1 $ (по условию)
Следовательно, $ \triangle AHC \cong \triangle A_1H_1C_1 $ (по равенству катета и противолежащего ему острого угла). Из равенства этих треугольников следует, что их гипотенузы равны: $ AC = A_1C_1 $.

Случай 2: Угол $ A $ — тупой ($ \angle A > 90^\circ $).
В этом случае основание высоты $ H $ лежит на продолжении стороны $ AB $ за точкой $ A $. Угол $ \angle CAH $ является смежным с углом $ \angle A $, поэтому $ \angle CAH = 180^\circ - \angle A $. Аналогично, $ \angle C_1A_1H_1 = 180^\circ - \angle A_1 $.Поскольку $ \angle A = \angle A_1 $, то $ \angle CAH = \angle C_1A_1H_1 $.В прямоугольных $ \triangle AHC $ и $ \triangle A_1H_1C_1 $ имеем:
- $ CH = C_1H_1 $ (по условию)
- $ \angle CAH = \angle C_1A_1H_1 $ (как доказано выше)
Следовательно, $ \triangle AHC \cong \triangle A_1H_1C_1 $ (по равенству катета и прилежащего к нему острого угла). Из этого следует, что $ AC = A_1C_1 $.

Случай 3: Угол $ A $ — прямой ($ \angle A = 90^\circ $).
В этом случае высота $ CH $, проведенная к прямой $ AB $, совпадает со стороной (катетом) $ AC $. Таким образом, $ CH = AC $. Аналогично, $ C_1H_1 = A_1C_1 $.Так как по условию $ CH = C_1H_1 $, то и $ AC = A_1C_1 $.

Таким образом, во всех возможных случаях мы доказали, что сторона $ AC $ равна стороне $ A_1C_1 $.

3. Теперь мы можем применить второй признак равенства треугольников к $ \triangle ABC $ и $ \triangle A_1B_1C_1 $. Мы установили, что:
- $ AC = A_1C_1 $ (доказано в п. 2)
- $ \angle A = \angle A_1 $ (по условию)
- $ \angle C = \angle C_1 $ (доказано в п. 1)
Следовательно, по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам), $ \triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1 $.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство треугольников по двум углам и высоте, проведённой из вершины третьего угла, доказано.

511. На рисунке 294 точка $O$ – центр окружности, диаметр $CD$ перпендикулярен хорде $AB$. Докажите, что $\angle AOD = \angle BOD$.

Рис. 294