Номер 504, страница 130 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 18. Прямоугольный треугольник. Глава 3. Параллельные прямые. Сумма углов треугольника - номер 504, страница 130.

504. Прямая пересекает стороны $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$ соответственно в точках $M$ и $K$, являющихся серединами этих сторон. Докажите, что вершины данного треугольника равноудалены от прямой $MK$.

По условию задачи, в треугольнике $ABC$ точки $M$ и $K$ являются серединами сторон $AB$ и $BC$ соответственно. Это означает, что отрезок $MK$ является средней линией треугольника $ABC$.

Нам необходимо доказать, что все три вершины треугольника, $A$, $B$ и $C$, равноудалены от прямой $MK$. Расстояние от точки до прямой определяется длиной перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Обозначим искомые расстояния от вершин $A$, $B$ и $C$ до прямой $MK$ как $d_A$, $d_B$ и $d_C$ соответственно.

Шаг 1: Докажем, что $d_A = d_C$

Согласно свойству средней линии треугольника, она параллельна третьей стороне. Следовательно, прямая $MK$ параллельна прямой, содержащей сторону $AC$ ($MK \parallel AC$). Расстояние между двумя параллельными прямыми является постоянной величиной. Поскольку точки $A$ и $C$ лежат на прямой $AC$, которая параллельна прямой $MK$, расстояния от этих точек до прямой $MK$ равны. Таким образом, $d_A = d_C$.

Шаг 2: Докажем, что $d_A = d_B$

Опустим перпендикуляры $AH_A$ и $BH_B$ из точек $A$ и $B$ на прямую $MK$. Длины этих перпендикуляров и есть искомые расстояния $d_A$ и $d_B$. Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle AMH_A$ и $\triangle BMH_B$.

• Гипотенузы $AM$ и $MB$ равны, так как $M$ — середина стороны $AB$ по условию ($AM = MB$).
• Углы $\angle AH_A M$ и $\angle BH_B M$ являются прямыми ($\angle AH_A M = \angle BH_B M = 90^\circ$) по построению.
• Углы $\angle AMH_A$ и $\angle BMH_B$ равны как вертикальные углы, образованные при пересечении прямых $AB$ и $MK$.

Следовательно, прямоугольные треугольники $\triangle AMH_A$ и $\triangle BMH_B$ равны по гипотенузе и острому углу. Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих катетов: $AH_A = BH_B$. Это означает, что $d_A = d_B$.

Заключение

Из Шага 1 мы получили, что $d_A = d_C$. Из Шага 2 мы получили, что $d_A = d_B$. Объединяя эти равенства, получаем: $d_A = d_B = d_C$. Это доказывает, что вершины $A$, $B$ и $C$ данного треугольника равноудалены от прямой $MK$.

Ответ: Утверждение доказано. Вершины треугольника равноудалены от прямой MK.

504. На стороне $AB$ треугольника $ABC$ отметили точку $M$ так, что $BM = CM$, $MK$ – биссектриса угла $AMC$. Докажите, что $MK \parallel BC$.