Номер 501, страница 130 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 18. Прямоугольный треугольник. Глава 3. Параллельные прямые. Сумма углов треугольника - номер 501, страница 130.

501. Докажите равенство прямоугольных треугольников по катету и биссектрисе, проведённой из вершины прилежащего к этому катету острого угла.

Пусть даны два прямоугольных треугольника $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$, в которых $\angle C = \angle C_1 = 90^\circ$.

Дано:
1. $AC = A_1C_1$ (равные катеты).
2. $AL$ — биссектриса острого угла $\angle A$, прилежащего к катету $AC$.
3. $A_1L_1$ — биссектриса острого угла $\angle A_1$, прилежащего к катету $A_1C_1$.
4. $AL = A_1L_1$ (биссектрисы равны).

Доказать:
$\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$.

Доказательство:

1. Рассмотрим треугольники $\triangle ACL$ и $\triangle A_1C_1L_1$. Они являются прямоугольными, так как $\angle C = \angle C_1 = 90^\circ$.

2. В этих прямоугольных треугольниках:
- гипотенуза $AL$ равна гипотенузе $A_1L_1$ по условию;
- катет $AC$ равен катету $A_1C_1$ по условию.

3. Следовательно, прямоугольные треугольники $\triangle ACL$ и $\triangle A_1C_1L_1$ равны по признаку равенства прямоугольных треугольников (по катету и гипотенузе).

4. Из равенства треугольников $\triangle ACL$ и $\triangle A_1C_1L_1$ следует равенство их соответствующих углов: $\angle CAL = \angle C_1A_1L_1$.

5. По определению, биссектриса делит угол пополам, поэтому:
$\angle BAC = 2 \cdot \angle CAL$
$\angle B_1A_1C_1 = 2 \cdot \angle C_1A_1L_1$

6. Так как $\angle CAL = \angle C_1A_1L_1$, то и удвоенные углы равны: $\angle BAC = \angle B_1A_1C_1$.

7. Теперь рассмотрим исходные прямоугольные треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$. В них:
- катет $AC$ равен катету $A_1C_1$ (по условию);
- прилежащий к этому катету острый угол $\angle BAC$ равен углу $\angle B_1A_1C_1$ (доказано в пункте 6).

8. Таким образом, $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$ по признаку равенства прямоугольных треугольников (по катету и прилежащему острому углу).

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство прямоугольных треугольников доказано.

501. Даны точки A и B. Найдите геометрическое место точек X таких, что $AX > AB$.