Номер 503, страница 130 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 18. Прямоугольный треугольник. Глава 3. Параллельные прямые. Сумма углов треугольника - номер 503, страница 130.

503. Докажите, что в равных треугольниках высоты, опущенные на соответственные стороны, равны.

Пусть даны два равных треугольника, $ \triangle ABC $ и $ \triangle A_1B_1C_1 $. Из условия их равенства ($ \triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1 $) следует, что все их соответственные элементы равны. В частности, равны их соответственные стороны и углы:
$ AB = A_1B_1 $, $ BC = B_1C_1 $, $ AC = A_1C_1 $
$ \angle A = \angle A_1 $, $ \angle B = \angle B_1 $, $ \angle C = \angle C_1 $

Проведем в этих треугольниках высоты к одной из пар соответственных сторон, например, высоты $ BH $ к стороне $ AC $ и $ B_1H_1 $ к стороне $ A_1C_1 $. По определению, высота перпендикулярна стороне, к которой она проведена, следовательно, $ BH \perp AC $ и $ B_1H_1 \perp A_1C_1 $. Это означает, что $ \angle BHA = 90^\circ $ и $ \angle B_1H_1A_1 = 90^\circ $.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $ \triangle ABH $ и $ \triangle A_1B_1H_1 $. Сравним эти треугольники:
1. Их гипотенузы равны: $ AB = A_1B_1 $ (как соответственные стороны в равных треугольниках $ \triangle ABC $ и $ \triangle A_1B_1C_1 $).
2. Прилежащие к гипотенузам острые углы равны: $ \angle A = \angle A_1 $ (как соответственные углы в тех же треугольниках).

Следовательно, прямоугольные треугольники $ \triangle ABH $ и $ \triangle A_1B_1H_1 $ равны по признаку равенства прямоугольных треугольников (по гипотенузе и острому углу).

Поскольку треугольники $ \triangle ABH $ и $ \triangle A_1B_1H_1 $ равны, то равны и их соответственные стороны. Катет $ BH $ в треугольнике $ \triangle ABH $ соответствует катету $ B_1H_1 $ в треугольнике $ \triangle A_1B_1H_1 $. Таким образом, $ BH = B_1H_1 $.

Это доказывает, что высоты, опущенные на соответственные стороны в равных треугольниках, равны. Аналогичное доказательство можно провести для двух других пар высот.

Ответ: Утверждение доказано.

503. Из точки O через точки A, B и C проведены лучи OA, OB и OC. Известно, что $OA = OB = OC$, $\angle AOB = 80^\circ$, $\angle BOC = 110^\circ$, $\angle AOC = 170^\circ$. Найдите углы треугольника ABC.