Номер 505, страница 130 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 18. Прямоугольный треугольник. Глава 3. Параллельные прямые. Сумма углов треугольника - номер 505, страница 130.

505. Прямая пересекает стороны $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$ в точках $M$ и $K$ соответственно. Вершины данного треугольника равноудалены от прямой $MK$. Докажите, что точки $M$ и $K$ являются серединами сторон $AB$ и $BC$ соответственно.

Пусть $l$ - это прямая, проходящая через точки $M$ и $K$. Опустим из вершин треугольника $A$, $B$ и $C$ перпендикуляры на прямую $l$. Обозначим основания этих перпендикуляров как $A_1$, $B_1$ и $C_1$ соответственно.

По условию задачи, вершины треугольника равноудалены от прямой $MK$. Это означает, что длины этих перпендикуляров равны между собой: $AA_1 = BB_1 = CC_1$.

Поскольку точка $M$ лежит на стороне $AB$ (то есть между точками $A$ и $B$), то вершины $A$ и $B$ находятся по разные стороны от прямой $l$. Аналогично, так как точка $K$ лежит на стороне $BC$, вершины $B$ и $C$ также находятся по разные стороны от прямой $l$.

Докажем, что M является серединой стороны AB

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle AMA_1$ и $\triangle BMB_1$. В этих треугольниках:

• катет $AA_1$ равен катету $BB_1$ (по условию);
• угол $\angle AMA_1$ равен углу $\angle BMB_1$ (как вертикальные углы).

Так как треугольники являются прямоугольными ($\angle AA_1M = \angle BB_1M = 90^\circ$), они равны по признаку равенства прямоугольных треугольников (по катету и противолежащему острому углу). Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон, в данном случае гипотенуз: $AM = BM$. Следовательно, точка $M$ является серединой стороны $AB$.

Докажем, что K является серединой стороны BC

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle BKB_1$ и $\triangle CKC_1$. Аналогично предыдущему пункту:

• катет $BB_1$ равен катету $CC_1$ (по условию);
• угол $\angle BKB_1$ равен углу $\angle CKC_1$ (как вертикальные углы).

Треугольники являются прямоугольными ($\angle BB_1K = \angle CC_1K = 90^\circ$), поэтому они равны по катету и противолежащему острому углу. Из равенства треугольников следует равенство их гипотенуз: $BK = CK$. Следовательно, точка $K$ является серединой стороны $BC$.

Таким образом, мы доказали, что точка $M$ является серединой стороны $AB$, а точка $K$ — серединой стороны $BC$.

Ответ: Утверждение задачи доказано.

505. В остроугольном треугольнике один из внешних углов равен $160^\circ$.

Найдите угол между прямыми, на которых лежат высоты, проведённые из двух других вершин треугольника.