Номер 506, страница 130 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 18. Прямоугольный треугольник. Глава 3. Параллельные прямые. Сумма углов треугольника - номер 506, страница 130.

506. Докажите равенство остроугольных треугольников по стороне и двум высотам, проведённым из концов этой стороны.

Пусть даны два остроугольных треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$.

Согласно условию задачи, у них равны одна сторона и две высоты, проведённые из концов этой стороны. Без ограничения общности, пусть равной стороной будет $BC$ в первом треугольнике и $B_1C_1$ во втором. Таким образом, по условию $BC = B_1C_1$.

Пусть $BH$ и $CK$ — высоты в $\triangle ABC$, проведённые из вершин $B$ и $C$ к сторонам $AC$ и $AB$ соответственно. Это означает, что $BH \perp AC$ и $CK \perp AB$.
Аналогично, пусть $B_1H_1$ и $C_1K_1$ — высоты в $\triangle A_1B_1C_1$, проведённые из вершин $B_1$ и $C_1$ к сторонам $A_1C_1$ и $A_1B_1$ соответственно. Это означает, что $B_1H_1 \perp A_1C_1$ и $C_1K_1 \perp A_1B_1$.

По условию, эти высоты равны: $BH = B_1H_1$ и $CK = C_1K_1$.
Требуется доказать, что $\triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1$.

Доказательство:

1. Сначала рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle BKC$ и $\triangle B_1K_1C_1$. Углы $\angle BKC$ и $\angle B_1K_1C_1$ равны $90^\circ$, так как $CK$ и $C_1K_1$ являются высотами. В этих треугольниках:
- гипотенуза $BC$ равна гипотенузе $B_1C_1$ (по условию);
- катет $CK$ равен катету $C_1K_1$ (по условию).
Следовательно, прямоугольные треугольники $\triangle BKC$ и $\triangle B_1K_1C_1$ равны по признаку равенства по гипотенузе и катету. Из равенства треугольников следует равенство всех их соответствующих элементов, в частности, углов: $\angle KBC = \angle K_1B_1C_1$.

2. Теперь рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle BHC$ и $\triangle B_1H_1C_1$. Углы $\angle BHC$ и $\angle B_1H_1C_1$ равны $90^\circ$, так как $BH$ и $B_1H_1$ являются высотами. В этих треугольниках:
- гипотенуза $BC$ равна гипотенузе $B_1C_1$ (по условию);
- катет $BH$ равен катету $B_1H_1$ (по условию).
Следовательно, прямоугольные треугольники $\triangle BHC$ и $\triangle B_1H_1C_1$ также равны по гипотенузе и катету. Из их равенства следует равенство углов: $\angle HCB = \angle H_1C_1B_1$.

3. Условие, что треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$ являются остроугольными, гарантирует, что основания высот ($H$, $K$, $H_1$, $K_1$) лежат на сторонах треугольников, а не на их продолжениях. Поэтому угол $\angle KBC$ является углом $\angle B$ треугольника $ABC$, а угол $\angle HCB$ является углом $\angle C$. Аналогично, $\angle K_1B_1C_1$ — это $\angle B_1$, а $\angle H_1C_1B_1$ — это $\angle C_1$. Из доказанного в п.1 и п.2 следует, что $\angle B = \angle B_1$ и $\angle C = \angle C_1$.

4. Наконец, сравним исходные треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$. Мы установили, что:
- $\angle B = \angle B_1$;
- $BC = B_1C_1$ (дано по условию);
- $\angle C = \angle C_1$.
Таким образом, сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника. По второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим углам, ASA), мы заключаем, что $\triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1$.

Ответ: Равенство треугольников доказано.

506. На рисунке 286 прямоугольник ABCD составлен из квадратов. Найдите сторону самого большого квадрата, если сторона самого маленького квадрата равна 1.

Рис. 286