Номер 499, страница 130 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 18. Прямоугольный треугольник. Глава 3. Параллельные прямые. Сумма углов треугольника - номер 499, страница 130.

499. Докажите равенство прямоугольных треугольников по катету и биссектрисе, проведённой из вершины прямого угла.

Рассмотрим два прямоугольных треугольника $ \triangle ABC $ и $ \triangle A_1B_1C_1 $ с прямыми углами $ \angle C $ и $ \angle C_1 $ соответственно. Пусть $ CL $ и $ C_1L_1 $ — биссектрисы этих прямых углов.

По условию, катет и биссектриса прямого угла одного треугольника равны соответствующим катету и биссектрисе другого. Пусть катет $ AC $ равен катету $ A_1C_1 $, а биссектриса $ CL $ равна биссектрисе $ C_1L_1 $. Требуется доказать, что $ \triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1 $.

Доказательство:

1. Поскольку $ CL $ является биссектрисой прямого угла $ \angle C $, она делит его на два равных угла. Таким образом, $ \angle ACL = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ $.

2. Аналогично, поскольку $ C_1L_1 $ является биссектрисой прямого угла $ \angle C_1 $, то $ \angle A_1C_1L_1 = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ $.

3. Рассмотрим треугольники $ \triangle ACL $ и $ \triangle A_1C_1L_1 $. В этих треугольниках:
- сторона $ AC $ равна стороне $ A_1C_1 $ (по условию),
- сторона $ CL $ равна стороне $ C_1L_1 $ (по условию),
- угол $ \angle ACL $ равен углу $ \angle A_1C_1L_1 $, так как оба равны $ 45^\circ $.

Следовательно, по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), $ \triangle ACL \cong \triangle A_1C_1L_1 $.

4. Из равенства треугольников $ \triangle ACL $ и $ \triangle A_1C_1L_1 $ следует равенство их соответствующих элементов. В частности, равны углы, противолежащие равным сторонам $ CL $ и $ C_1L_1 $, то есть $ \angle A = \angle A_1 $.

5. Теперь сравним исходные прямоугольные треугольники $ \triangle ABC $ и $ \triangle A_1B_1C_1 $. Они равны по признаку равенства прямоугольных треугольников по катету и прилежащему острому углу, так как:
- катет $ AC $ равен катету $ A_1C_1 $ (по условию),
- прилежащий к этому катету острый угол $ \angle A $ равен углу $ \angle A_1 $ (доказано в предыдущем пункте).

Таким образом, $ \triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1 $, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство треугольников доказано.

499. Отрезок $AB$ – диаметр окружности, $M$ – произвольная точка окружности, отличная от точек $A$ и $B$. Докажите, что $\angle AMB=90^\circ$.