Номер 492, страница 129 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 18. Прямоугольный треугольник. Глава 3. Параллельные прямые. Сумма углов треугольника - номер 492, страница 129.

492. Из точек $A$ и $B$, лежащих в одной полуплоскости относительно прямой $a$, опущены перпендикуляры $AM$ и $BK$ на эту прямую, $AM = BK$.

Докажите, что $AK = BM$.

Для доказательства равенства отрезков $AK$ и $BM$ рассмотрим два треугольника: $\triangle AKM$ и $\triangle BMK$.

По условию задачи $AM$ и $BK$ являются перпендикулярами к прямой $a$. Это означает, что углы, которые они образуют с прямой $a$, являются прямыми:

$\angle AMK = 90^\circ$

$\angle BKM = 90^\circ$

Следовательно, треугольники $\triangle AKM$ и $\triangle BMK$ являются прямоугольными.

Теперь сравним эти два прямоугольных треугольника:

• Катет $AM$ треугольника $\triangle AKM$ равен катету $BK$ треугольника $\triangle BMK$ по условию ($AM = BK$).
• Катет $MK$ является общим для обоих треугольников.

По признаку равенства прямоугольных треугольников, если два катета одного треугольника соответственно равны двум катетам другого треугольника, то такие треугольники равны. В нашем случае $\triangle AKM = \triangle BMK$.

Из равенства треугольников следует и равенство их соответственных сторон. Гипотенуза $AK$ треугольника $\triangle AKM$ соответствует гипотенузе $BM$ треугольника $\triangle BMK$.

Таким образом, $AK = BM$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Равенство отрезков $AK$ и $BM$ следует из равенства прямоугольных треугольников $\triangle AKM$ и $\triangle BMK$ по двум катетам ($AM = BK$ по условию и $MK$ — общий катет).

492. Хорда $CD$ пересекает диаметр $AB$ в точке $M$, $CE \perp AB$, $DF \perp AB$, $\angle AMC = 60^{\circ}$, $ME = 18$ см, $MF = 12$ см (рис. 285). Найдите хорду $CD$.

Рис. 285

Рис. 286