Номер 487, страница 128 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 18. Прямоугольный треугольник. Глава 3. Параллельные прямые. Сумма углов треугольника - номер 487, страница 128.

487. Найдите меньший из углов, образованных биссектрисой прямого угла треугольника с гипотенузой, если один из острых углов треугольника равен $54^{\circ}$.

Пусть дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$ ($\angle C = 90^\circ$). $AB$ — гипотенуза. По условию, один из острых углов равен $54^\circ$. Пусть это будет угол $A$, то есть $\angle A = 54^\circ$.

Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^\circ$. Найдем второй острый угол $B$:
$\angle B = 90^\circ - \angle A = 90^\circ - 54^\circ = 36^\circ$.

Проведем биссектрису $CD$ из вершины прямого угла $C$ к гипотенузе $AB$. Биссектриса делит угол пополам, поэтому:
$\angle ACD = \angle BCD = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ$.

Биссектриса $CD$ пересекает гипотенузу $AB$ и образует с ней два угла: $\angle ADC$ и $\angle BDC$. Чтобы найти их величину, рассмотрим один из треугольников, образовавшихся внутри исходного, например, треугольник $ADC$.

Сумма углов в треугольнике $ADC$ равна $180^\circ$. Мы знаем два его угла: $\angle A = 54^\circ$ и $\angle ACD = 45^\circ$. Найдем третий угол, $\angle ADC$:
$\angle ADC = 180^\circ - (\angle A + \angle ACD)$
$\angle ADC = 180^\circ - (54^\circ + 45^\circ)$
$\angle ADC = 180^\circ - 99^\circ = 81^\circ$.

Углы $\angle ADC$ и $\angle BDC$ — смежные, их сумма равна $180^\circ$. Найдем второй угол $\angle BDC$:
$\angle BDC = 180^\circ - \angle ADC = 180^\circ - 81^\circ = 99^\circ$.

Мы получили два угла, образованных биссектрисой и гипотенузой: $81^\circ$ и $99^\circ$. Меньший из этих углов равен $81^\circ$.

Ответ: $81^\circ$

487. Отрезки $AB$ и $AC$ — соответственно диаметр и хорда окружности с центром $O$, хорда $AC$ равна радиусу этой окружности. Найдите $\angle BAC$.