Номер 489, страница 128 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 18. Прямоугольный треугольник. Глава 3. Параллельные прямые. Сумма углов треугольника - номер 489, страница 128.

489. Угол между основанием равнобедренного треугольника и высотой, проведённой к боковой стороне, равен 19°. Найдите углы данного треугольника.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ \triangle ABC $ с основанием $ AC $. По свойству равнобедренного треугольника, углы при основании равны: $ \angle BAC = \angle BCA $.

Проведём высоту из вершины $ A $ к боковой стороне $ BC $ и обозначим её $ AH $. По определению высоты, $ AH \perp BC $, следовательно, треугольник $ \triangle AHC $ является прямоугольным с прямым углом $ \angle AHC = 90^\circ $.

По условию задачи, угол между основанием $ AC $ и высотой $ AH $, проведённой к боковой стороне, равен $ 19^\circ $. Этот угол — $ \angle HAC $. Таким образом, $ \angle HAC = 19^\circ $.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ \triangle AHC $. Сумма углов в треугольнике равна $ 180^\circ $. Мы можем найти угол $ \angle HCA $:

$ \angle HCA = 180^\circ - \angle AHC - \angle HAC $

$ \angle HCA = 180^\circ - 90^\circ - 19^\circ = 71^\circ $

Угол $ \angle HCA $ является углом при основании равнобедренного треугольника $ \triangle ABC $, то есть $ \angle BCA = 71^\circ $.

Так как углы при основании равнобедренного треугольника равны, то второй угол при основании также равен $ 71^\circ $:

$ \angle BAC = \angle BCA = 71^\circ $

Теперь найдём угол при вершине $ \angle ABC $, зная, что сумма всех углов треугольника $ \triangle ABC $ равна $ 180^\circ $:

$ \angle ABC = 180^\circ - (\angle BAC + \angle BCA) $

$ \angle ABC = 180^\circ - (71^\circ + 71^\circ) = 180^\circ - 142^\circ = 38^\circ $

Таким образом, мы нашли все углы данного треугольника.

Ответ: углы треугольника равны $ 71^\circ, 71^\circ $ и $ 38^\circ $.

489. Чему равен диаметр окружности, если известно, что он на 4 см больше радиуса данной окружности?