Номер 497, страница 129 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 18. Прямоугольный треугольник. Глава 3. Параллельные прямые. Сумма углов треугольника - номер 497, страница 129.

497. Докажите, что высоты равнобедренного треугольника, проведённые к его боковым сторонам, равны.

Дано:

Пусть дан равнобедренный треугольник $ \triangle ABC $ с основанием $ AC $. По определению равнобедренного треугольника, его боковые стороны равны: $ AB = BC $. В этом треугольнике проведены две высоты: $ AH_1 $ к боковой стороне $ BC $ (то есть $ AH_1 \perp BC $) и $ CH_2 $ к боковой стороне $ AB $ (то есть $ CH_2 \perp AB $).

Доказать:

Необходимо доказать, что высоты, проведённые к боковым сторонам, равны между собой, то есть $ AH_1 = CH_2 $.

Доказательство:

Рассмотрим два прямоугольных треугольника: $ \triangle ABH_1 $ и $ \triangle CBH_2 $. Они являются прямоугольными, так как $ AH_1 $ и $ CH_2 $ — высоты, а значит $ \angle AH_1B = 90^\circ $ и $ \angle CH_2B = 90^\circ $.

Сравним эти два треугольника:

1. Гипотенуза $ AB $ треугольника $ \triangle ABH_1 $ равна гипотенузе $ CB $ треугольника $ \triangle CBH_2 $, так как это боковые стороны равнобедренного треугольника $ \triangle ABC $ по условию ($ AB = BC $).

2. Угол $ \angle B $ является общим для обоих треугольников $ \triangle ABH_1 $ и $ \triangle CBH_2 $.

Следовательно, прямоугольные треугольники $ \triangle ABH_1 $ и $ \triangle CBH_2 $ равны по гипотенузе и острому углу.

Из равенства треугольников ($ \triangle ABH_1 \cong \triangle CBH_2 $) следует равенство их соответствующих элементов. Катеты $ AH_1 $ и $ CH_2 $ лежат напротив общего угла $ \angle B $, значит, они являются соответствующими сторонами. Таким образом, $ AH_1 = CH_2 $.

Что и требовалось доказать.

Ответ:

Высоты равнобедренного треугольника, проведённые к его боковым сторонам, равны. Это доказано через равенство прямоугольных треугольников, которые эти высоты образуют. Треугольники равны по гипотенузе (боковой стороне исходного треугольника) и общему острому углу (углу при вершине исходного треугольника).

497. Найдите ГМТ, равноудалённых от двух параллельных прямых.