Номер 1, страница 132 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Вопросы. § 19. Свойства прямоугольного треугольника. Глава 3. Параллельные прямые. Сумма углов треугольника - номер 1, страница 132.

1. Какая из сторон прямоугольного треугольника является наибольшей?

1. В прямоугольном треугольнике наибольшей стороной является гипотенуза. Гипотенуза — это сторона, лежащая напротив прямого угла ($90^\circ$). Существует два основных способа это доказать.

Доказательство через соотношение углов и сторон

Сумма всех углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. В прямоугольном треугольнике один угол прямой, то есть равен $90^\circ$. Следовательно, на два других (острых) угла приходится $180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$. Это означает, что каждый из двух оставшихся углов строго меньше $90^\circ$.
Таким образом, прямой угол является наибольшим углом в прямоугольном треугольнике. В геометрии есть теорема, которая гласит: в треугольнике против большего угла лежит большая сторона. Так как гипотенуза лежит напротив самого большого угла ($90^\circ$), она и является самой большой стороной.

Доказательство через теорему Пифагора

Теорема Пифагора связывает длины сторон прямоугольного треугольника. Если обозначить длины катетов (сторон, образующих прямой угол) как $a$ и $b$, а длину гипотенузы как $c$, то теорема записывается формулой:

$c^2 = a^2 + b^2$

Поскольку длины сторон $a$ и $b$ — это положительные числа, то их квадраты $a^2$ и $b^2$ также положительны. Из формулы видно, что квадрат гипотенузы $c^2$ равен сумме двух положительных чисел, а значит, он больше каждого из них по отдельности:

$c^2 > a^2$ и $c^2 > b^2$

Так как длины сторон являются положительными величинами, из этого следует, что:

$c > a$ и $c > b$

Это означает, что гипотенуза $c$ длиннее каждого из катетов, и, следовательно, является наибольшей стороной треугольника.

Ответ: наибольшей стороной прямоугольного треугольника является гипотенуза.

1. Какая из сторон прямоугольного треугольника является наибольшей?