Номер 461, страница 123 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 17. Неравенства, связанные с элементами треугольника. Глава 3. Параллельные прямые. Сумма углов треугольника - номер 461, страница 123.

461. Сравните стороны треугольника $ABC$, если:

1) $\angle C > \angle A > \angle B$;

2) $\angle B > \angle C, \angle A = \angle B$.

1)

Для сравнения сторон треугольника $ABC$ воспользуемся теоремой о соотношении между сторонами и углами треугольника: в треугольнике против большего угла лежит большая сторона, и наоборот, против большей стороны лежит больший угол.

По условию задано соотношение углов: $∠C > ∠A > ∠B$.

В треугольнике $ABC$ стороны расположены напротив углов следующим образом:
- сторона $AB$ лежит напротив угла $C$;
- сторона $BC$ лежит напротив угла $A$;
- сторона $AC$ лежит напротив угла $B$.

Применяя теорему, из неравенства $∠C > ∠A$ следует, что сторона, лежащая напротив угла $C$ (сторона $AB$), больше стороны, лежащей напротив угла $A$ (стороны $BC$). Таким образом, $AB > BC$.

Аналогично, из неравенства $∠A > ∠B$ следует, что сторона $BC$ больше стороны $AC$. Таким образом, $BC > AC$.

Объединив полученные неравенства, мы получаем итоговое соотношение для сторон треугольника: $AB > BC > AC$.

Ответ: $AB > BC > AC$.

2)

В этом пункте даны два условия: $∠B > ∠C$ и $∠A = ∠B$.

Из этих условий мы можем составить общее соотношение для всех углов треугольника. Так как $∠A = ∠B$, мы можем подставить $∠A$ в неравенство и получить $∠A > ∠C$. Таким образом, полное соотношение углов выглядит так: $∠A = ∠B > ∠C$.

Теперь снова применим теорему о соотношении сторон и углов треугольника.

Из равенства $∠A = ∠B$ следует, что стороны, лежащие напротив этих углов, равны. Сторона напротив угла $A$ — это $BC$, а напротив угла $B$ — это $AC$. Следовательно, $BC = AC$. Это означает, что треугольник $ABC$ является равнобедренным с основанием $AB$.

Из неравенства $∠B > ∠C$ следует, что сторона, лежащая напротив угла $B$ (сторона $AC$), больше стороны, лежащей напротив угла $C$ (стороны $AB$). Таким образом, $AC > AB$.

Объединив полученные результаты ($BC = AC$ и $AC > AB$), мы получаем итоговое соотношение для сторон: $BC = AC > AB$.

Ответ: $BC = AC > AB$.

461. Один из углов прямоугольного треугольника равен $30^\circ$, а разность гипотенузы и меньшего катета – 5 см. Найдите эти стороны треугольника.