Номер 420, страница 117 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 16. Сумма углов треугольника. Глава 3. Параллельные прямые. Сумма углов треугольника - номер 420, страница 117.

420. На рисунке 283 укажите треугольники, для которых внешним углом является:

1) угол $AMB$;

2) угол $BMD$.

Рис. 283

Внешний угол треугольника — это угол, смежный с одним из внутренних углов этого треугольника. Он образуется одной стороной треугольника и продолжением другой стороны, выходящей из той же вершины. На рисунке точка $M$ является точкой пересечения отрезков $AD$ и $BC$.

1) угол AMB
Чтобы угол $ \angle AMB $ был внешним для некоторого треугольника, он должен быть смежным с одним из его внутренних углов. Это означает, что одна из его сторон ($MA$ или $MB$) должна быть стороной треугольника, а другая — продолжением другой стороны треугольника, выходящей из той же вершины.
- Рассмотрим треугольник $ \triangle AMC $. Его внутренний угол при вершине $M$ — это $ \angle AMC $. Угол $ \angle AMB $ образован стороной $AM$ этого треугольника и лучом $MB$, который является продолжением стороны $CM$ за вершину $M$. Таким образом, $ \angle AMB $ является внешним углом треугольника $ \triangle AMC $.
- Рассмотрим треугольник $ \triangle BMD $. Его внутренний угол при вершине $M$ — это $ \angle BMD $. Угол $ \angle AMB $ (или $ \angle BMA $) образован стороной $BM$ этого треугольника и лучом $MA$, который является продолжением стороны $DM$ за вершину $M$. Таким образом, $ \angle AMB $ является внешним углом треугольника $ \triangle BMD $.
Ответ: $ \triangle AMC $ и $ \triangle BMD $.

2) угол BMD
Аналогично пункту 1, найдём треугольники, для которых $ \angle BMD $ является внешним.
- Рассмотрим треугольник $ \triangle ABM $. Его внутренний угол при вершине $M$ — это $ \angle AMB $. Угол $ \angle BMD $ образован стороной $BM$ этого треугольника и лучом $MD$, который является продолжением стороны $AM$ за вершину $M$. Следовательно, $ \angle BMD $ является внешним углом для треугольника $ \triangle ABM $.
- Рассмотрим треугольник $ \triangle DCM $. Его внутренний угол при вершине $M$ — это $ \angle DMC $. Угол $ \angle BMD $ (или $ \angle DMB $) образован стороной $DM$ этого треугольника и лучом $MB$, который является продолжением стороны $CM$ за вершину $M$. Следовательно, $ \angle BMD $ является внешним углом для треугольника $ \triangle DCM $.
Ответ: $ \triangle ABM $ и $ \triangle DCM $.

420. Докажите, что сумма длин двух сторон треугольника больше удвоенной длины медианы, проведённой к третьей стороне.