Номер 527, страница 133 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 19. Свойства прямоугольного треугольника. Глава 3. Параллельные прямые. Сумма углов треугольника - номер 527, страница 133.

527. Основание равнобедренного треугольника равно 18 см, а один из углов – $120^\circ$. Найдите высоту треугольника, проведённую из вершины угла при его основании.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC = 18$ см. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны ($\angle A = \angle C$), а боковые стороны равны ($AB = BC$).

В условии сказано, что один из углов равен $120°$. Этот угол не может быть углом при основании, так как в этом случае сумма двух углов при основании была бы $120° + 120° = 240°$, что превышает сумму всех углов треугольника ($180°$). Следовательно, угол $120°$ — это угол при вершине, противолежащей основанию, то есть $\angle B = 120°$.

Найдем углы при основании. Сумма углов в треугольнике равна $180°$. Тогда сумма углов при основании $\angle A + \angle C = 180° - \angle B = 180° - 120° = 60°$. Так как $\angle A = \angle C$, то каждый из них равен $60° / 2 = 30°$.

Нам нужно найти высоту, проведённую из вершины угла при основании. Проведем высоту $AH$ из вершины $A$ к боковой стороне $BC$. Так как угол $\angle B$ тупой ($120° > 90°$), высота $AH$ упадёт не на саму сторону $BC$, а на её продолжение за точку $B$.

Рассмотрим получившийся треугольник $\triangle ABH$. Угол $\angle ABH$ является смежным с углом $\angle ABC$, поэтому их сумма равна $180°$.
$\angle ABH = 180° - \angle ABC = 180° - 120° = 60°$.
Треугольник $\triangle ABH$ является прямоугольным, так как $AH$ — высота, следовательно $\angle AHB = 90°$.

Для того чтобы найти высоту $AH$, нам нужно знать длину одной из сторон треугольника $\triangle ABH$. Найдем длину гипотенузы $AB$, которая является боковой стороной исходного треугольника $\triangle ABC$. Воспользуемся теоремой синусов для $\triangle ABC$:
$\frac{AC}{\sin(\angle B)} = \frac{AB}{\sin(\angle C)}$
Подставим известные значения:
$\frac{18}{\sin(120°)} = \frac{AB}{\sin(30°)}$
Выразим $AB$:
$AB = 18 \cdot \frac{\sin(30°)}{\sin(120°)}$
Зная, что $\sin(30°) = \frac{1}{2}$ и $\sin(120°) = \sin(180°-60°) = \sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:
$AB = 18 \cdot \frac{1/2}{\sqrt{3}/2} = 18 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{18\sqrt{3}}{3} = 6\sqrt{3}$ см.

Теперь вернемся к прямоугольному треугольнику $\triangle ABH$. Мы знаем гипотенузу $AB = 6\sqrt{3}$ см и угол $\angle ABH = 60°$. Высота $AH$ является катетом, противолежащим этому углу. Найдем $AH$ через синус угла $\angle ABH$:
$\sin(\angle ABH) = \frac{AH}{AB}$
$AH = AB \cdot \sin(\angle ABH) = 6\sqrt{3} \cdot \sin(60°)$
$AH = 6\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{6 \cdot 3}{2} = \frac{18}{2} = 9$ см.

Ответ: 9 см.

527. Отрезки $AB$ и $BC$ — соответственно хорда и диаметр окружности, $\angle ABC = 30^\circ$. Через точку $A$ провели касательную к окружности, пересекающую прямую $BC$ в точке $D$. Докажите, что $\triangle ABD$ — равнобедренный.