Номер 649, страница 162 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 22. Описанная и вписанная окружности треугольника. Глава 4. Окружность и круг. Геометрические построения - номер 649, страница 162.

649. На рисунке 357 $BC \parallel AD$, $AB = 3$ см, $BC = 10$ см. Биссектриса угла $BAD$ пересекает отрезок $BC$ в точке $K$. Найдите отрезки $BK$ и $KC$.

Рис. 357

Согласно условию задачи, в четырехугольнике $ABCD$ стороны $BC$ и $AD$ параллельны ($BC \parallel AD$). Прямая $AK$ является секущей по отношению к этим параллельным прямым.

Углы $\angle KAD$ и $\angle BKA$ являются внутренними накрест лежащими углами, образованными при пересечении параллельных прямых $BC$ и $AD$ секущей $AK$. По свойству параллельных прямых, эти углы равны:

$\angle KAD = \angle BKA$.

Также по условию задачи, $AK$ является биссектрисой угла $\angle BAD$. По определению биссектрисы, она делит угол на два равных угла:

$\angle BAK = \angle KAD$.

Сопоставляя два полученных равенства, мы можем заключить, что:

$\angle BAK = \angle BKA$.

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle ABK$. Так как в этом треугольнике два угла равны ($\angle BAK = \angle BKA$), то он является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике стороны, противолежащие равным углам, также равны. Сторона $BK$ лежит напротив угла $\angle BAK$, а сторона $AB$ — напротив угла $\angle BKA$. Следовательно, их длины равны:

$BK = AB$.

Из условия нам известно, что $AB = 3$ см. Таким образом, мы находим длину отрезка $BK$:

$BK = 3$ см.

Точка $K$ принадлежит отрезку $BC$. Это значит, что длина отрезка $BC$ равна сумме длин отрезков $BK$ и $KC$:

$BC = BK + KC$.

Используя известные нам значения $BC = 10$ см и $BK = 3$ см, мы можем вычислить длину отрезка $KC$:

$KC = BC - BK = 10 \text{ см} - 3 \text{ см} = 7 \text{ см}$.

Ответ: $BK = 3$ см, $KC = 7$ см.

649. Постройте равнобедренный треугольник по основанию и разности боковой стороны и высоты, опущенной на основание.