Номер 1, страница 169 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Вопросы. § 23. Задачи на построение. Глава 4. Окружность и круг. Геометрические построения - номер 1, страница 169.

1. С помощью каких инструментов выполняют геометрические построения? Какие построения можно ими выполнять?

С помощью каких инструментов выполняют геометрические построения?

Классические геометрические построения на плоскости, также известные как построения циркулем и линейкой, выполняются с помощью всего двух инструментов:

1. Линейка без делений (прямой край). Этот инструмент позволяет провести прямую линию через две любые заданные точки. Важно подчеркнуть, что линейка не имеет шкалы, поэтому ею нельзя измерять расстояние или откладывать отрезки определённой длины.

2. Циркуль. Этот инструмент позволяет выполнить два основных действия:
- Начертить окружность (или её часть — дугу) с центром в заданной точке и заданным радиусом.
- Отложить отрезок, равный данному, от любой точки на прямой или окружности (путём измерения расстояния между двумя точками "раствором" циркуля и последующего его применения).

Все построения в евклидовой геометрии основаны на аксиомах, которые соответствуют возможностям именно этих двух инструментов.

Ответ: Геометрические построения выполняют с помощью циркуля и линейки без делений.

Какие построения можно ими выполнять?

С помощью циркуля и линейки можно выполнить все построения, аналитическое решение которых сводится к выполнению четырёх арифметических действий (сложение, вычитание, умножение, деление) и извлечению квадратного корня. На практике это выливается в ряд основных (элементарных) построений, на основе которых решаются более сложные задачи.

К основным построениям относятся:

- Построение отрезка, равного данному, на заданной прямой от заданной точки.

- Построение суммы и разности двух отрезков.

- Деление отрезка пополам (построение серединного перпендикуляра).

- Деление отрезка на $n$ равных частей (теорема Фалеса).

- Построение прямой, проходящей через данную точку и перпендикулярной данной прямой.

- Построение прямой, проходящей через данную точку и параллельной данной прямой.

- Построение угла, равного данному.

- Построение биссектрисы угла (деление угла пополам).

- Построение правильных многоугольников, таких как равносторонний треугольник, квадрат, правильный пятиугольник, правильный шестиугольник и другие многоугольники, число сторон которых является числом Ферма или произведением различных чисел Ферма и степени двойки.

- Построение касательной к окружности, проходящей через данную точку.

При этом существуют и знаменитые "неразрешимые" задачи древности, которые невозможно решить с помощью только циркуля и линейки: трисекция угла (деление произвольного угла на три равные части), удвоение куба и квадратура круга.

Ответ: С помощью циркуля и линейки можно выполнять базовые построения, такие как копирование и деление отрезков и углов, построение перпендикулярных и параллельных прямых, а также построение некоторых правильных многоугольников и решение других задач, сводящихся к линейным и квадратным уравнениям.

1. С помощью каких инструментов выполняют геометрические построения? Какие построения можно ими выполнять?