Номер 657, страница 169 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 23. Задачи на построение. Глава 4. Окружность и круг. Геометрические построения - номер 657, страница 169.

657. Начертите треугольник $ABC$. Постройте его:

1) высоту $AM$;

2) медиану $BD$;

3) биссектрису $CK$.

Сначала необходимо начертить на плоскости произвольный треугольник $ABC$, отметив его вершины.

Для выполнения построений понадобятся циркуль и линейка без делений.

1) высоту AM

Высота треугольника – это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону или её продолжение. Для построения высоты $AM$ из вершины $A$ к стороне $BC$ выполним следующие шаги:

1. Установим иглу циркуля в вершину $A$.
2. Начертим дугу так, чтобы она пересекла прямую, содержащую сторону $BC$, в двух точках. Назовём их $P_1$ и $P_2$. Если дуга не пересекает прямую $BC$, необходимо увеличить радиус циркуля.
3. Из точек $P_1$ и $P_2$, как из центров, проведём две дуги одинакового радиуса (больше половины длины отрезка $P_1P_2$) так, чтобы они пересеклись в точке $Q$.
4. С помощью линейки проведём прямую через точки $A$ и $Q$.
5. Точка пересечения этой прямой со стороной $BC$ (или её продолжением) и будет точкой $M$. Отрезок $AM$ является высотой треугольника $ABC$. По построению, $AM \perp BC$.

Ответ: Построен отрезок $AM$ — высота треугольника $ABC$, опущенная из вершины $A$ на сторону $BC$.

2) медиану BD

Медиана треугольника – это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Для построения медианы $BD$ из вершины $B$ к стороне $AC$, сначала найдём середину стороны $AC$.

1. Установим иглу циркуля в вершину $A$ и проведём дугу с радиусом, который очевидно больше половины длины отрезка $AC$.
2. Не изменяя раствор циркуля, установим его иглу в вершину $C$ и проведём вторую дугу так, чтобы она пересекла первую в двух точках по обе стороны от отрезка $AC$.
3. Через две точки пересечения этих дуг проведём прямую с помощью линейки. Эта прямая является серединным перпендикуляром к отрезку $AC$.
4. Точка, в которой эта прямая пересекает сторону $AC$, является её серединой. Обозначим эту точку как $D$. Таким образом, $AD = DC$.
5. Соединим вершину $B$ с точкой $D$ с помощью линейки.

Ответ: Построен отрезок $BD$ — медиана треугольника $ABC$, проведённая из вершины $B$ к стороне $AC$.

3) биссектрису CK

Биссектриса угла треугольника – это отрезок, который делит соответствующий угол на два равных угла и соединяет вершину с точкой на противоположной стороне. Построим биссектрису $CK$ угла $C$ ($\angle ACB$).

1. Установим иглу циркуля в вершину $C$.
2. Проведём дугу произвольного радиуса, которая пересечёт стороны $CA$ и $CB$ в двух точках. Назовём их $S_1$ и $S_2$.
3. Из точек $S_1$ и $S_2$, как из центров, проведём две дуги одинакового радиуса так, чтобы они пересеклись внутри угла $C$ в точке $T$.
4. С помощью линейки проведём луч, начинающийся в вершине $C$ и проходящий через точку $T$.
5. Точка пересечения этого луча со стороной $AB$ и будет точкой $K$. Отрезок $CK$ является биссектрисой угла $C$. По построению, $\angle ACK = \angle KCB$.

Ответ: Построен отрезок $CK$ — биссектриса угла $C$ треугольника $ABC$.

На рисунке ниже показан пример треугольника $ABC$ с построенными в нём высотой $AM$ (красный отрезок), медианой $BD$ (зелёный отрезок) и биссектрисой $CK$ (синий отрезок).

657. Постройте треугольник по высоте и медиане, проведённым из одной вершины, и радиусу описанной окружности.