Номер 660, страница 169 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 23. Задачи на построение. Глава 4. Окружность и круг. Геометрические построения - номер 660, страница 169.

660. Постройте касательную к окружности, проходящую через данную точку окружности.

Для построения касательной к окружности, проходящей через данную точку, лежащую на этой окружности, используется свойство касательной: касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. Таким образом, задача сводится к построению перпендикуляра к радиусу в данной точке.

Дано:
Окружность с центром в точке $O$ и точка $A$, лежащая на этой окружности.

Алгоритм построения:
1. С помощью линейки проводим прямую через центр окружности $O$ и точку $A$. Эта прямая содержит радиус $OA$.
2. Устанавливаем острие циркуля в точку $A$ и чертим окружность (или две дуги) произвольного радиуса $r$. Эта окружность пересечет прямую $OA$ в двух точках. Обозначим их $M$ и $N$. Точка $A$ является серединой отрезка $MN$.
3. Из точек $M$ и $N$ проводим две дуги одинакового радиуса $R$, причем $R$ должно быть больше половины длины отрезка $MN$ (т.е. $R > r$). Эти дуги пересекутся в двух точках. Обозначим одну из них как $B$.
4. С помощью линейки проводим прямую через точку $A$ и точку $B$.

Доказательство:
По построению, точка $B$ равноудалена от точек $M$ и $N$ ($BM = BN$), а точка $A$ также равноудалена от $M$ и $N$ ($AM = AN = r$). Следовательно, прямая $AB$ является серединным перпендикуляром к отрезку $MN$. Это означает, что прямая $AB$ перпендикулярна прямой $OA$ ($AB \perp OA$).
Поскольку прямая $AB$ проходит через точку $A$ на окружности и перпендикулярна радиусу $OA$, проведенному в эту точку, то по признаку касательной прямая $AB$ является касательной к окружности. Построение верно.

Ответ: Построенная прямая $AB$, проходящая через точку $A$ и перпендикулярная радиусу $OA$, является искомой касательной.

Рис. 334

660.

На рисунке 334 $\angle A = 46^\circ$, $\angle ACB = 68^\circ$, $\angle DEC = 120^\circ$. Найдите углы треугольников EFC и DBE.