Номер 663, страница 169 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 23. Задачи на построение. Глава 4. Окружность и круг. Геометрические построения - номер 663, страница 169.

663. Постройте равнобедренный треугольник по боковой стороне и углу при вершине.

Для построения равнобедренного треугольника по боковой стороне и углу при вершине нам понадобятся циркуль и линейка без делений. Пусть нам дан отрезок, длина которого равна боковой стороне $b$, и угол $\alpha$, равный углу при вершине.

Построение

1. Начертим произвольный луч с началом в точке $A$. Эта точка будет вершиной искомого треугольника.
2. От этого луча отложим угол, равный данному углу $\alpha$. Для этого построим второй луч из точки $A$ так, чтобы получился угол $\angle BAC = \alpha$.
3. С помощью циркуля измерим длину данной боковой стороны $b$.
4. Установим ножку циркуля в вершину угла, точку $A$, и проведем дугу окружности радиусом $b$. Эта дуга пересечет стороны угла в двух токах, которые мы назовем $B$ и $C$.
5. Соединим точки $B$ и $C$ с помощью линейки.

В результате мы получим треугольник $ABC$, который является искомым.

Доказательство

Рассмотрим построенный треугольник $ABC$ и докажем, что он удовлетворяет условиям задачи.

• Стороны $AB$ и $AC$ по построению являются радиусами одной и той же дуги окружности с центром в точке $A$. Следовательно, их длины равны данной боковой стороне $b$: $AB = AC = b$.
• Так как в треугольнике $ABC$ две стороны равны ($AB = AC$), то по определению он является равнобедренным.
• Угол $\angle BAC$ был построен равным данному углу $\alpha$. Так как этот угол заключен между двумя равными боковыми сторонами, он является углом при вершине равнобедренного треугольника.

Таким образом, построенный треугольник $ABC$ является равнобедренным, его боковая сторона равна $b$, а угол при вершине — $\alpha$, что и требовалось.

Исследование

Данная задача имеет единственное решение (с точностью до расположения и ориентации на плоскости) при условии, что заданный угол $\alpha$ больше $0^\circ$ и меньше $180^\circ$ ($0^\circ < \alpha < 180^\circ$). Если угол $\alpha$ будет равен $180^\circ$ или $0^\circ$, то все три вершины треугольника будут лежать на одной прямой, и треугольник выродится в отрезок. Если $\alpha > 180^\circ$, то обычно рассматривают угол $360^\circ - \alpha$, но в контексте школьной геометрии углы треугольника всегда меньше $180^\circ$.

Ответ: Построение выполнено согласно описанному алгоритму, который всегда приводит к искомому результату при $0^\circ < \alpha < 180^\circ$.

663. На рисунке 335 $BD = DC$, $DN \perp BC$, $\angle BDM = \angle MDA$. Найдите сумму углов $MBN$ и $BMD$.

Рис. 335