Номер 669, страница 170 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 23. Задачи на построение. Глава 4. Окружность и круг. Геометрические построения - номер 669, страница 170.

669. Постройте окружность, касающуюся сторон данного угла.

Для построения окружности, касающейся сторон данного угла, необходимо найти ее центр и радиус. Ключевым свойством является то, что центр такой окружности всегда лежит на биссектрисе данного угла, так как все точки биссектрисы равноудалены от его сторон. Радиус окружности равен длине перпендикуляра, опущенного из центра на любую из сторон угла. Алгоритм построения с помощью циркуля и линейки следующий:

1. Построение биссектрисы угла. Пусть дан угол с вершиной в точке $A$. Из вершины $A$ проводим циркулем дугу произвольного радиуса, пересекающую стороны угла в точках $B$ и $C$. Затем из точек $B$ и $C$ проводим две дуги одинакового радиуса так, чтобы они пересеклись внутри угла в точке $D$. Проводим луч $AD$. Этот луч является биссектрисой данного угла.
2. Выбор центра окружности. На построенной биссектрисе $AD$ выбираем произвольную точку $O$ (отличную от вершины $A$). Эта точка будет центром будущей окружности. Так как точку $O$ на биссектрисе можно выбрать произвольно, задача имеет бесконечное множество решений.
3. Определение радиуса окружности. Для определения радиуса из точки $O$ опускаем перпендикуляр на одну из сторон угла (например, на сторону $AB$). Для этого из точки $O$ проводим дугу, пересекающую сторону $AB$ в двух точках $E$ и $F$. Затем из точек $E$ и $F$ как из центров проводим две пересекающиеся дуги одинакового радиуса. Прямая, соединяющая точку $O$ с точкой пересечения этих дуг, будет перпендикулярна стороне $AB$. Обозначим основание этого перпендикуляра точкой $H$.
4. Построение окружности. Длина отрезка $OH$ является радиусом искомой окружности. Устанавливаем раствор циркуля равным длине $OH$, помещаем острие в центр $O$ и проводим окружность.

Построенная окружность с центром $O$ и радиусом $R = OH$ касается стороны $AB$ в точке $H$, так как $OH \perp AB$. Поскольку центр $O$ лежит на биссектрисе, он равноудален от обеих сторон угла, а значит, окружность касается и второй стороны (AC). Таким образом, построение выполнено верно.

Ответ: для построения окружности, касающейся сторон данного угла, необходимо: 1. Построить биссектрису этого угла. 2. Выбрать на биссектрисе любую точку, которая станет центром окружности. 3. Из этой точки опустить перпендикуляр на любую из сторон угла; длина этого перпендикуляра будет радиусом искомой окружности. 4. Построить окружность с полученными центром и радиусом.

отмеченные точки на одной прямой?

669. На рисунке 337 $AN = 24$ см, $AB = BC$, $CD = DE$, $EF = FK$, $KM = MN$, $DF = 6$ см. Найдите длину отрезка $BM$.

Рис. 337

A B C D E F K M N