Страница 170 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

667. Через данную точку, не принадлежащую данной прямой, проведите прямую, параллельную данной.

Для решения этой задачи, которая является одной из основных задач на построение в геометрии, используются циркуль и линейка без делений. Пусть нам дана прямая $a$ и точка $M$, не лежащая на этой прямой ($M \notin a$).

Идея построения заключается в том, чтобы провести через точку $M$ и прямую $a$ вспомогательную прямую (секущую) и построить угол, равный одному из углов, образовавшихся при пересечении секущей с прямой $a$. Если мы построим равный соответственный или накрест лежащий угол, то по признаку параллельности прямых новая прямая будет параллельна исходной. Ниже приведен один из возможных алгоритмов.

1. Проведем через точку $M$ и любую произвольную точку $A$ на прямой $a$ прямую $c$ (секущую).
2. С центром в точке $A$ проведем окружность произвольного радиуса $r$. Она пересечет прямую $a$ в точке $B$ и секущую $c$ в точке $C$.
3. Не меняя раствора циркуля (то есть с тем же радиусом $r$), проведем окружность с центром в точке $M$. Она пересечет секущую $c$ в точке $D$.
4. С помощью циркуля измерим расстояние между точками $B$ и $C$.
5. С центром в точке $D$ проведем окружность радиусом, равным длине отрезка $BC$. Точку пересечения этой окружности с окружностью, построенной в шаге 3, назовем $E$.
6. С помощью линейки проведем прямую $b$ через точки $M$ и $E$.

Выполненная последовательность действий является классическим алгоритмом копирования угла с помощью циркуля и линейки. Мы скопировали угол $\angle CAB$ и построили равный ему угол $\angle EMD$.

Углы $\angle CAB$ и $\angle EMD$ являются соответственными углами при пересечении прямых $a$ и $b$ секущей $c$.

Поскольку по построению $\angle EMD = \angle CAB$, то согласно признаку параллельности прямых (если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны), мы можем заключить, что прямая $b$ параллельна прямой $a$.

Таким образом, построенная прямая $b$ проходит через данную точку $M$ и параллельна данной прямой $a$. Задача решена.

Ответ: Прямая $b$, построенная согласно приведенному алгоритму, является искомой прямой.

667. Точка D – середина отрезка MK, $MK = 16 \text{ см}$. На прямой MK найдите все точки Y такие, что $MY + KY + DY = 30 \text{ см}$.

668. Через данную точку, принадлежащую углу, проведите прямую, отсекающую на сторонах угла равные отрезки.

Пусть дан угол с вершиной в точке $O$ и сторонами-лучами $a$ и $b$. Пусть $M$ — данная точка, расположенная внутри этого угла. Требуется построить прямую, проходящую через точку $M$, которая пересекает стороны угла $a$ и $b$ в точках $A$ и $B$ соответственно, так, чтобы отрезки, отсекаемые от вершины, были равны, то есть $OA = OB$.

Для решения задачи проанализируем свойства искомой прямой. Если прямая $AB$ отсекает на сторонах угла равные отрезки $OA$ и $OB$, то треугольник $\triangle OAB$, образованный этой прямой и сторонами угла, является равнобедренным с основанием $AB$. В равнобедренном треугольнике биссектриса угла при вершине ($\angle AOB$) является также и высотой, проведенной к основанию. Это означает, что биссектриса угла $\angle AOB$ должна быть перпендикулярна искомой прямой $AB$.

Это наблюдение позволяет сформулировать следующий алгоритм построения:

1. Построить биссектрису $l$ данного угла $\angle AOB$.
2. Через данную точку $M$ провести прямую $p$, перпендикулярную биссектрисе $l$.
3. Построенная прямая $p$ является искомой.

Докажем, что построенная прямая $p$ действительно отсекает равные отрезки на сторонах угла. Пусть прямая $p$ пересекает стороны угла в точках $A$ и $B$, а биссектрису $l$ — в точке $K$. Рассмотрим треугольники $\triangle OKA$ и $\triangle OKB$.

• Сторона $OK$ — общая.
• Углы $\angle AOK$ и $\angle BOK$ равны, так как $OK$ — биссектриса угла $\angle AOB$.
• Углы $\angle OKA$ и $\angle OKB$ — прямые, равны $90^\circ$, так как по построению прямая $p$ перпендикулярна биссектрисе $l$.

Следовательно, треугольники $\triangle OKA$ и $\triangle OKB$ равны по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам). Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон: $OA = OB$, что и требовалось доказать.

Данное построение всегда возможно и приводит к единственному решению, поскольку у любого угла существует единственная биссектриса, и через любую точку можно провести единственную прямую, перпендикулярную данной прямой. Так как точка $M$ лежит внутри угла, построенная прямая всегда пересечет обе стороны (луча) угла.

Ответ: Искомая прямая — это прямая, проходящая через данную точку и перпендикулярная биссектрисе данного угла.

668. На прямой отметили 10 точек: A, B, C, D, E, F, M, N, K, P. Сколько при этом образовалось отрезков, одним из концов которых является точка A? Сколько всего образовалось отрезков с концами в отмеченных точках? Зависит ли общее количество отрезков от того, лежат ли отмеченные точки на одной прямой?

669. Постройте окружность, касающуюся сторон данного угла.

Для построения окружности, касающейся сторон данного угла, необходимо найти ее центр и радиус. Ключевым свойством является то, что центр такой окружности всегда лежит на биссектрисе данного угла, так как все точки биссектрисы равноудалены от его сторон. Радиус окружности равен длине перпендикуляра, опущенного из центра на любую из сторон угла. Алгоритм построения с помощью циркуля и линейки следующий:

1. Построение биссектрисы угла. Пусть дан угол с вершиной в точке $A$. Из вершины $A$ проводим циркулем дугу произвольного радиуса, пересекающую стороны угла в точках $B$ и $C$. Затем из точек $B$ и $C$ проводим две дуги одинакового радиуса так, чтобы они пересеклись внутри угла в точке $D$. Проводим луч $AD$. Этот луч является биссектрисой данного угла.
2. Выбор центра окружности. На построенной биссектрисе $AD$ выбираем произвольную точку $O$ (отличную от вершины $A$). Эта точка будет центром будущей окружности. Так как точку $O$ на биссектрисе можно выбрать произвольно, задача имеет бесконечное множество решений.
3. Определение радиуса окружности. Для определения радиуса из точки $O$ опускаем перпендикуляр на одну из сторон угла (например, на сторону $AB$). Для этого из точки $O$ проводим дугу, пересекающую сторону $AB$ в двух точках $E$ и $F$. Затем из точек $E$ и $F$ как из центров проводим две пересекающиеся дуги одинакового радиуса. Прямая, соединяющая точку $O$ с точкой пересечения этих дуг, будет перпендикулярна стороне $AB$. Обозначим основание этого перпендикуляра точкой $H$.
4. Построение окружности. Длина отрезка $OH$ является радиусом искомой окружности. Устанавливаем раствор циркуля равным длине $OH$, помещаем острие в центр $O$ и проводим окружность.

Построенная окружность с центром $O$ и радиусом $R = OH$ касается стороны $AB$ в точке $H$, так как $OH \perp AB$. Поскольку центр $O$ лежит на биссектрисе, он равноудален от обеих сторон угла, а значит, окружность касается и второй стороны (AC). Таким образом, построение выполнено верно.

Ответ: для построения окружности, касающейся сторон данного угла, необходимо: 1. Построить биссектрису этого угла. 2. Выбрать на биссектрисе любую точку, которая станет центром окружности. 3. Из этой точки опустить перпендикуляр на любую из сторон угла; длина этого перпендикуляра будет радиусом искомой окружности. 4. Построить окружность с полученными центром и радиусом.

отмеченные точки на одной прямой?

669. На рисунке 337 $AN = 24$ см, $AB = BC$, $CD = DE$, $EF = FK$, $KM = MN$, $DF = 6$ см. Найдите длину отрезка $BM$.

Рис. 337

A B C D E F K M N

670. Дан угол, равный $30^\circ$. Постройте окружность заданного радиуса с центром, принадлежащим одной из сторон данного угла, касающуюся его другой стороны.

Для решения данной задачи необходимо провести анализ, на основе которого будет составлен план построения, а затем доказать корректность этого построения.

Анализ

Пусть дан угол $\angle A$ величиной $30^\circ$ со сторонами (лучами) $l_1$ и $l_2$, и задан радиус $R$. Требуется построить окружность с центром $O$ на одной из сторон угла, которая касается другой стороны.

Предположим, что искомая окружность уже построена. Пусть ее центр, точка $O$, лежит на стороне $l_1$. По свойству касательной, окружность касается стороны $l_2$ в некоторой точке $P$ тогда и только тогда, когда радиус $OP$ перпендикулярен стороне $l_2$. Таким образом, расстояние от центра $O$ до стороны $l_2$ равно радиусу окружности $R$.

Рассмотрим треугольник $\triangle APO$, где $A$ — вершина данного угла. Этот треугольник является прямоугольным, так как $OP \perp l_2$, следовательно, $\angle APO = 90^\circ$. Угол $\angle PAO$ равен $30^\circ$ по условию. Катет $OP$ является радиусом окружности, то есть $OP = R$. Гипотенуза $AO$ — это расстояние от вершины угла до центра окружности, которое нам нужно найти для построения.

Из свойств прямоугольного треугольника известно, что катет, лежащий напротив угла в $30^\circ$, равен половине гипотенузы. В нашем случае это означает, что $OP = \frac{1}{2} AO$.

Так как $OP = R$, мы получаем уравнение: $R = \frac{1}{2} AO$. Решая его относительно $AO$, находим, что расстояние от вершины угла до центра окружности должно быть равно $AO = 2R$.

Таким образом, анализ показывает, что центр искомой окружности $O$ должен находиться на одной из сторон угла на расстоянии $2R$ от его вершины. Это и является ключом к построению.

Построение

1. Пусть дан угол $\angle BAC = 30^\circ$ и отрезок, задающий радиус $R$.
2. С помощью циркуля измеряем длину радиуса $R$ и откладываем на произвольной прямой отрезок длиной $2R$ (дважды отложив отрезок $R$).
3. Устанавливаем раствор циркуля равным длине $2R$.
4. Поставив ножку циркуля в вершину угла $A$, проводим дугу, пересекающую одну из сторон угла (например, луч $AB$) в точке $O$. Эта точка и будет центром искомой окружности.
5. Устанавливаем раствор циркуля равным заданному радиусу $R$.
6. Проводим окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R$.

Доказательство

Проверим, что построенная окружность удовлетворяет всем условиям задачи.
Центр на стороне угла: По построению, центр $O$ лежит на стороне $AB$ данного угла.
Радиус равен R: Окружность построена с радиусом $R$.
Касание другой стороны: Необходимо доказать, что расстояние от центра $O$ до стороны $AC$ равно $R$. Проведем из точки $O$ перпендикуляр $OP$ к стороне $AC$. В образовавшемся прямоугольном треугольнике $\triangle APO$ гипотенуза $AO$ по построению равна $2R$, а острый угол $\angle PAO$ равен $30^\circ$. Катет $OP$, лежащий напротив угла в $30^\circ$, равен половине гипотенузы: $OP = \frac{1}{2} AO = \frac{1}{2} (2R) = R$. Так как расстояние от центра $O$ до прямой $AC$ равно радиусу окружности, то окружность касается стороны $AC$.
Все условия задачи выполнены.

Ответ: Для построения окружности нужно на одной из сторон угла от его вершины отложить отрезок длиной, равной удвоенному заданному радиусу ($2R$). Полученная точка будет являться центром искомой окружности. Затем из этой точки следует провести окружность заданного радиуса $R$.

670. Начертите угол $MKE$, равный $120^\circ$. Проведите луч $KC$ так, чтобы $\angle MKC = 60^\circ$. Найдите угол $CKE$ и укажите его вид. Сколько решений имеет задача?

671. Постройте окружность, касающуюся сторон данного угла, причём одной из них — в данной точке.

Для построения искомой окружности необходимо найти её центр и радиус. Пусть дан угол с вершиной в точке $A$ и сторонами, являющимися лучами $l_1$ и $l_2$. Пусть на стороне $l_1$ задана точка $M$, в которой окружность должна касаться этой стороны.

Проанализируем свойства искомой окружности:

1. Центр окружности, касающейся обеих сторон угла, должен быть равноудалён от этих сторон. Геометрическое место точек плоскости, равноудалённых от сторон угла, есть его биссектриса. Следовательно, центр искомой окружности, обозначим его $O$, должен лежать на биссектрисе угла $A$.
2. По свойству касательной к окружности, радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. Так как окружность должна касаться стороны $l_1$ в точке $M$, её радиус $OM$ должен быть перпендикулярен прямой, содержащей луч $l_1$. Это означает, что центр $O$ должен лежать на прямой, которая перпендикулярна $l_1$ и проходит через точку $M$.

Из этого следует, что центр искомой окружности $O$ является точкой пересечения биссектрисы угла $A$ и перпендикуляра к стороне $l_1$, проведённого через точку $M$. Радиус $R$ этой окружности будет равен длине отрезка $OM$.

Таким образом, алгоритм построения следующий:

1. С помощью циркуля и линейки построить биссектрису данного угла $A$.
2. В точке $M$ на стороне $l_1$ восстановить перпендикуляр к этой стороне.
3. Найти точку $O$ — точку пересечения построенной биссектрисы и перпендикуляра. Эта точка и является центром искомой окружности.
4. С помощью циркуля построить окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R = OM$.

Построенная окружность будет искомой. Она касается стороны $l_1$ в точке $M$ по построению (так как $OM \perp l_1$). Поскольку её центр $O$ лежит на биссектрисе угла, он равноудалён от сторон $l_1$ и $l_2$. Расстояние от $O$ до $l_1$ равно радиусу $OM$, следовательно, расстояние от $O$ до $l_2$ также равно радиусу, и окружность касается стороны $l_2$.

Ответ: Искомая окружность имеет центр в точке пересечения биссектрисы данного угла и перпендикуляра к стороне угла, проведённого через данную точку касания. Радиус окружности равен расстоянию от найденного центра до данной точки касания.

671. Градусные меры смежных углов $ABC$ и $CBD$ относятся как $5 : 4$. Найдите угол между биссектрисами углов $ABC$ и $ABD$. Сколько решений имеет задача?

672. Постройте прямоугольный треугольник по гипотенузе и острому углу.

Дано:

Отрезок, равный по длине гипотенузе $c$, и угол, равный острому углу $\alpha$.

Построить:

Прямоугольный треугольник $\triangle ABC$ такой, что его гипотенуза $AB$ равна $c$, один из острых углов, например $\angle A$, равен $\alpha$, и $\angle C = 90^\circ$.

Анализ:

Предположим, что искомый треугольник $\triangle ABC$ построен. В нем $\angle C = 90^\circ$, гипотенуза $AB = c$ и $\angle A = \alpha$.

Геометрическим местом точек, из которых данный отрезок $AB$ виден под прямым углом, является окружность, построенная на отрезке $AB$ как на диаметре. Следовательно, вершина $C$ прямого угла должна лежать на этой окружности.

Кроме того, вершина $C$ должна лежать на луче, выходящем из точки $A$ и образующем с отрезком $AB$ угол, равный $\alpha$.

Таким образом, точка $C$ является точкой пересечения двух фигур: окружности с диаметром $AB$ и луча, построенного из точки $A$ под углом $\alpha$ к $AB$. Это и определяет план построения.

Построение:

1. С помощью линейки и циркуля строим отрезок $AB$, равный данной гипотенузе $c$.

2. Строим угол, равный данному углу $\alpha$, с вершиной в точке $A$ и одной стороной на луче $AB$. Получаем луч $AM$.

3. Находим середину отрезка $AB$. Обозначим ее точкой $O$. Для этого строим две дуги окружностей с центрами в точках $A$ и $B$ и одинаковым радиусом, большим половины длины $AB$. Прямая, проходящая через точки пересечения этих дуг (серединный перпендикуляр), пересечет отрезок $AB$ в его середине $O$.

4. Строим окружность с центром в точке $O$ и радиусом $OA$ (равным $OB$).

5. Точка пересечения луча $AM$ и построенной окружности является искомой третьей вершиной треугольника. Обозначим ее $C$.

6. Соединяем отрезком точки $C$ и $B$. Искомый треугольник $\triangle ABC$ построен.

Доказательство:

Рассмотрим построенный треугольник $\triangle ABC$.

1. Сторона $AB$ является гипотенузой и ее длина равна $c$ по построению.

2. Угол $\angle BAC$ (то есть $\angle A$) равен $\alpha$ по построению.

3. Точка $C$ лежит на окружности, для которой отрезок $AB$ является диаметром. По свойству вписанного угла, опирающегося на диаметр, угол $\angle ACB$ равен $90^\circ$.

Таким образом, $\triangle ABC$ — это прямоугольный треугольник с заданной гипотенузой $c$ и острым углом $\alpha$. Построение верное.

Исследование:

Задача имеет решение, если данный угол $\alpha$ является острым ($0^\circ < \alpha < 90^\circ$). В этом случае луч $AM$ не совпадает с прямой $AB$ и не является касательной к окружности в точке $A$. Следовательно, луч $AM$ пересекает окружность в единственной точке $C$, отличной от $A$. Если построить угол $\alpha$ по другую сторону от прямой $AB$, получится треугольник, конгруэнтный (равный) построенному. Следовательно, задача всегда имеет единственное решение с точностью до конгруэнтности.

Ответ: Прямоугольный треугольник построен согласно приведенному алгоритму.

672. Два угла имеют общую сторону и не имеют других общих точек. Явля-ются ли эти углы смежными, если:

1) их величины относятся как 11 : 19 и один из углов на $32^\circ$ больше другого;

2) их величины относятся как 7 : 3 и один из углов на $72^\circ$ меньше другого?

673. Постройте прямоугольный треугольник по катету и противолежащему острому углу.

Для построения прямоугольного треугольника по катету и противолежащему острому углу воспользуемся циркулем и линейкой. Пусть дан отрезок, длина которого равна катету $a$, и угол, равный противолежащему этому катету острому углу $\alpha$.

Построение начнем с проведения произвольной прямой $l$, на которой отметим точку $A$ — будущую вершину угла $\alpha$. От точки $A$ на прямой $l$ построим луч $m$ так, чтобы угол между прямой $l$ и лучом $m$ был равен данному углу $\alpha$. Далее, необходимо определить положение вершины $B$ на луче $m$ и вершины прямого угла $C$ на прямой $l$. Поскольку катет $BC$ должен иметь длину $a$ и быть перпендикулярен катету $AC$ (лежащему на прямой $l$), то точка $B$ должна быть удалена от прямой $l$ на расстояние $a$. Для нахождения такой точки построим прямую $p$, параллельную прямой $l$ и находящуюся на расстоянии $a$ от нее. Это делается путем восстановления перпендикуляра в любой точке прямой $l$, откладывания на нем отрезка длиной $a$ и проведения через его конец прямой, параллельной $l$.

Точка пересечения построенной прямой $p$ и луча $m$ и будет искомой вершиной $B$. Чтобы найти последнюю вершину $C$, опустим из точки $B$ перпендикуляр на прямую $l$. Основание этого перпендикуляра и есть точка $C$. Соединив точки $A$, $B$ и $C$, получим искомый треугольник.

Докажем, что построенный треугольник $ABC$ удовлетворяет условиям. Во-первых, он прямоугольный, так как $\angle BCA = 90^\circ$ по построению (поскольку $BC$ — перпендикуляр к $l$). Во-вторых, острый угол $\angle BAC$ равен $\alpha$ по построению. В-третьих, катет $BC$, лежащий напротив угла $\angle BAC$, имеет длину $a$, так как его длина равна расстоянию между параллельными прямыми $l$ и $p$, которое мы задали равным $a$. Таким образом, все условия задачи выполнены.

Ответ: Искомый треугольник строится по вышеописанному алгоритму.

Рис. 338

673. На рисунке 338 $BD \perp BC$. Угол между биссектрисами углов ABD и DBC равен 55°. Найдите угол ABD.

Треугольники

674. Постройте равнобедренный треугольник:

1) по высоте, опущенной на основание, и углу при вершине;

2) по основанию и медиане, проведённой к основанию;

3) по основанию и высоте, проведённой к боковой стороне.

1) по высоте, опущенной на основание, и углу при вершине;

Пусть даны отрезок $h$, равный высоте, и угол $\alpha$, равный углу при вершине. Необходимо построить равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$, в котором высота $BH$, опущенная на основание, равна $h$, а угол при вершине $\angle ABC = \alpha$.

Анализ: В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также биссектрисой и медианой. Следовательно, высота $BH$ делит угол при вершине $\alpha$ пополам ($\angle ABH = \angle CBH = \alpha/2$) и перпендикулярна основанию $AC$. Это означает, что задача сводится к построению прямоугольного треугольника $ABH$ по катету $BH=h$ и прилежащему острому углу $\angle ABH = \alpha/2$. Затем достраивается симметричный ему треугольник $CBH$.

Построение:

1. Проведем произвольную прямую $l$ и выберем на ней точку $H$.
2. Через точку $H$ проведем прямую $m$, перпендикулярную прямой $l$.
3. На прямой $m$ отложим отрезок $BH$ длиной $h$. Точка $B$ будет вершиной искомого треугольника.
4. Построим угол, равный $\alpha$, и проведем его биссектрису, получив угол $\alpha/2$.
5. От луча $HB$ в одну из полуплоскостей относительно прямой $m$ отложим угол, равный $\alpha/2$. Сторона этого угла пересечет прямую $l$ в точке $A$.
6. На прямой $l$ от точки $H$ отложим отрезок $HC$, равный отрезку $HA$, в полуплоскости, не содержащей точку $A$.
7. Соединим точки $A$, $B$ и $C$.

Доказательство: По построению $BH \perp AC$, значит, $BH$ — высота, и ее длина равна $h$. Треугольники $ABH$ и $CBH$ прямоугольные. Они равны по двум катетам, так как $BH$ — общий катет, а $AH=CH$ по построению. Из равенства треугольников следует, что $AB=CB$, то есть треугольник $ABC$ — равнобедренный. Также из равенства следует, что $\angle ABH = \angle CBH$. Поскольку $\angle ABH$ был построен равным $\alpha/2$, то $\angle ABC = \angle ABH + \angle CBH = \alpha/2 + \alpha/2 = \alpha$. Таким образом, построенный треугольник удовлетворяет всем условиям.

Ответ: Треугольник $ABC$ является искомым.

2) по основанию и медиане, проведённой к основанию;

Пусть даны отрезок $a$, равный основанию, и отрезок $m$, равный медиане, проведенной к основанию. Необходимо построить равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC=a$ и медианой $BH=m$.

Анализ: В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является также высотой. Следовательно, $BH$ перпендикулярна $AC$, а точка $H$ — середина $AC$. Это означает, что мы можем построить прямоугольный треугольник $ABH$ по двум катетам: $BH=m$ и $AH = a/2$.

Построение:

1. Проведем прямую и отложим на ней отрезок $AC$ длиной $a$.
2. Найдем середину отрезка $AC$, точку $H$ (например, с помощью построения серединного перпендикуляра).
3. Через точку $H$ проведем прямую $l$, перпендикулярную $AC$.
4. На прямой $l$ от точки $H$ отложим отрезок $BH$ длиной $m$.
5. Соединим точку $B$ с точками $A$ и $C$.

Доказательство: По построению, основание $AC$ равно $a$. Отрезок $BH$ соединяет вершину $B$ с серединой $H$ стороны $AC$, следовательно, $BH$ — медиана, и ее длина равна $m$. Так как $BH \perp AC$ по построению, то $BH$ является также и высотой. В треугольнике, где медиана является высотой, этот треугольник — равнобедренный. Таким образом, $\triangle ABC$ — искомый.

Ответ: Треугольник $ABC$ является искомым.

3) по основанию и высоте, проведённой к боковой стороне.

Пусть даны отрезок $a$, равный основанию, и отрезок $h_b$, равный высоте, проведенной к боковой стороне. Необходимо построить равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC=a$ и высотой $AK=h_b$ к боковой стороне $BC$.

Анализ: Рассмотрим прямоугольный треугольник $AKC$, в котором $\angle AKC = 90^\circ$. В этом треугольнике нам известны гипотенуза $AC=a$ и катет $AK=h_b$. Мы можем построить этот треугольник, если $a \ge h_b$. Если $a < h_b$, построение невозможно. Если $a = h_b$, то $K$ совпадает с $C$, и $\angle C = 90^\circ$, что для равнобедренного треугольника с основанием $AC$ и равными сторонами $AB=BC$ приводит к противоречию. Следовательно, для существования невырожденного решения необходимо, чтобы $a > h_b$.Построив $\triangle AKC$, мы определим положение вершин $A$ и $C$, а также прямой $CK$, на которой лежит вершина $B$. Так как $\triangle ABC$ — равнобедренный с основанием $AC$, то $AB=BC$, значит, вершина $B$ равноудалена от $A$ и $C$. Геометрическое место точек, равноудаленных от $A$ и $C$, — это серединный перпендикуляр к отрезку $AC$. Таким образом, вершина $B$ — это точка пересечения прямой $CK$ и серединного перпендикуляра к $AC$.

Построение:

1. Построим прямоугольный треугольник $AKC$ по гипотенузе $AC=a$ и катету $AK=h_b$. Для этого:
   1. Проведем прямую и отложим отрезок $AC$ длиной $a$.
   2. Построим окружность с центром в $A$ и радиусом $h_b$.
   3. Построим окружность с диаметром $AC$.
   4. Точка $K$ — одна из точек пересечения этих окружностей.
2. Проведем прямую через точки $C$ и $K$.
3. Построим серединный перпендикуляр $m$ к отрезку $AC$.
4. Точка пересечения прямой $CK$ и перпендикуляра $m$ — это искомая вершина $B$.
5. Соединим точки $A$, $B$ и $C$.

Доказательство: В построенном треугольнике $ABC$ основание $AC$ равно $a$ по построению. Вершина $B$ лежит на серединном перпендикуляре к $AC$, поэтому $AB=BC$, и $\triangle ABC$ — равнобедренный. По построению, $AK \perp CK$. Так как точки $B, K, C$ лежат на одной прямой, то $AK \perp BC$. Значит, $AK$ — высота, проведенная к боковой стороне $BC$, и ее длина равна $h_b$. Следовательно, построенный треугольник удовлетворяет всем условиям.

Ответ: Треугольник $ABC$ является искомым.

674. Периметр треугольника равен 87 см, одна из сторон – $a$ см, другая – $b$ см. Составьте выражение для нахождения третьей стороны. Вычислите длину третьей стороны, если $a = 27, b = 21$.

675. Постройте равнобедренный треугольник:

1) по боковой стороне и углу при основании;

2) по боковой стороне и высоте, проведённой к основанию.

1) по боковой стороне и углу при основании

Пусть нам дан отрезок $b$, равный боковой стороне, и угол $\alpha$, равный углу при основании равнобедренного треугольника. Построение возможно, если $2\alpha < 180^\circ$, то есть $\alpha < 90^\circ$.

Алгоритм построения:

1. Проведём произвольную прямую $a$ и отметим на ней точку $A$. Эта точка будет одной из вершин основания.
2. От луча, являющегося частью прямой $a$ с началом в точке $A$, отложим угол, равный данному углу $\alpha$. Построим луч $l$ с началом в точке $A$.
3. На луче $l$ отложим отрезок $AB$, равный данной боковой стороне $b$.
4. Теперь нам нужно найти третью вершину $C$, которая лежит на прямой $a$. Так как треугольник равнобедренный, то вторая боковая сторона $BC$ должна быть равна первой, то есть $BC = AB = b$.
5. Построим окружность с центром в точке $B$ и радиусом, равным $b$.
6. Эта окружность пересечёт прямую $a$ в двух точках: в точке $A$ (так как $BA=b$) и в некоторой другой точке $C$.
7. Соединим точки $A$, $B$ и $C$. Полученный треугольник $ABC$ — искомый.

Доказательство: В построенном треугольнике $\triangle ABC$ сторона $AB = b$ по построению. Сторона $BC$ является радиусом окружности с центром в точке $B$ и радиусом $b$, следовательно, $BC = b$. Таким образом, $AB = BC$, и треугольник $ABC$ является равнобедренным. Угол при основании $\angle BAC$ равен $\alpha$ по построению. Так как в равнобедренном треугольнике углы при основании равны, то $\angle BCA = \angle BAC = \alpha$. Значит, треугольник $ABC$ — искомый равнобедренный треугольник.

Ответ: Треугольник построен.

2) по боковой стороне и высоте, проведённой к основанию

Пусть нам дан отрезок $b$, равный боковой стороне, и отрезок $h$, равный высоте, проведённой к основанию. В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является также и медианой. Эта высота делит равнобедренный треугольник на два равных прямоугольных треугольника. Боковая сторона будет гипотенузой, а высота — катетом в таком прямоугольном треугольнике. Построение возможно, если боковая сторона больше высоты, то есть $b > h$.

Алгоритм построения:

1. Проведём произвольную прямую $a$. На ней будет лежать основание искомого треугольника.
2. Отметим на прямой $a$ произвольную точку $H$. Эта точка будет основанием высоты.
3. Через точку $H$ проведём прямую $p$, перпендикулярную прямой $a$.
4. На прямой $p$ от точки $H$ отложим отрезок $HB$, равный данной высоте $h$. Точка $B$ — вершина треугольника, противолежащая основанию.
5. Теперь нам нужно найти вершины $A$ и $C$, лежащие на прямой $a$. Расстояние от вершины $B$ до вершин $A$ и $C$ равно длине боковой стороны $b$.
6. Построим окружность с центром в точке $B$ и радиусом, равным $b$.
7. Так как $b > h$, эта окружность пересечёт прямую $a$ в двух точках, которые мы назовём $A$ и $C$.
8. Соединим точки $A$, $B$ и $C$. Полученный треугольник $ABC$ — искомый.

Доказательство: В построенном треугольнике $\triangle ABC$ отрезки $AB$ и $BC$ являются радиусами окружности с центром в точке $B$ и радиусом $b$, следовательно, $AB = BC = b$. Значит, треугольник $ABC$ — равнобедренный с заданной боковой стороной. Отрезок $BH$ по построению перпендикулярен прямой $AC$ и его длина равна $h$. Следовательно, $BH$ — высота треугольника, проведённая к основанию, и её длина равна заданной. Значит, треугольник $ABC$ — искомый.

Ответ: Треугольник построен.

675. Найдите периметр треугольника $ABC$, если $AB + BC = 27$ см, $AB + AC = 28$ см, $BC + AC = 29$ см.

676. Постройте равнобедренный прямоугольный треугольник по гипотенузе.

Для построения равнобедренного прямоугольного треугольника по его гипотенузе воспользуемся свойствами этого треугольника и стандартными построениями с помощью циркуля и линейки.

Пусть дан отрезок AB, который является гипотенузой искомого треугольника.

Анализ

Пусть треугольник ABC — искомый, где AB — гипотенуза, а угол C — прямой ($ \angle C = 90^\circ $). Так как треугольник равнобедренный, то его катеты равны: $AC = BC$. Из этого следует, что углы при основании (гипотенузе) также равны: $ \angle A = \angle B = (180^\circ - 90^\circ) / 2 = 45^\circ $.
В любом прямоугольном треугольнике медиана, проведенная из вершины прямого угла к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Если M — середина гипотенузы AB, то $CM = AM = BM$. Это означает, что вершина C лежит на окружности, центр которой — середина гипотенузы, а диаметр — сама гипотенуза AB.
Кроме того, в равнобедренном треугольнике ABC медиана CM, проведенная к основанию AB, является также высотой. Следовательно, прямая CM перпендикулярна гипотенузе AB.
Таким образом, для нахождения вершины C необходимо найти точку, которая одновременно лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AB и удалена от середины AB на расстояние, равное половине длины AB.

Построение

1. Находим середину гипотенузы AB. Для этого строим серединный перпендикуляр к отрезку AB.
   • Из точек A и B как из центров проводим две дуги окружности с одинаковым радиусом $R$, который заведомо больше половины длины отрезка AB ($R > \frac{1}{2}AB$).
   • Эти дуги пересекутся в двух точках, назовем их P и Q.
   • Проводим прямую через точки P и Q. Эта прямая является серединным перпендикуляром к отрезку AB. Обозначим точку пересечения этой прямой с отрезком AB как M. Точка M — искомая середина AB.
2. Находим вершину прямого угла C.
   • Измеряем циркулем расстояние AM (или BM).
   • С центром в точке M проводим окружность (или дугу) радиусом AM.
   • Эта окружность пересечет построенный серединный перпендикуляр в двух точках (по одной с каждой стороны от отрезка AB). Выбираем любую из них и обозначаем ее буквой C.
3. Завершаем построение. Соединяем отрезками точки A, B и C. Полученный треугольник ABC является искомым.

Доказательство

Рассмотрим построенный треугольник ABC.
1. По построению, точка C лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AB. По свойству серединного перпендикуляра, любая его точка равноудалена от концов отрезка, следовательно, $AC = BC$. Это означает, что треугольник ABC — равнобедренный.
2. По построению, M — середина гипотенузы AB, и мы выбрали точку C так, что $CM = AM = BM = \frac{1}{2}AB$. В треугольнике ABC отрезок CM является медианой. Поскольку медиана равна половине стороны, к которой она проведена, то по соответствующему признаку треугольник ABC является прямоугольным, а угол, противолежащий этой стороне (AB), — прямой. Следовательно, $ \angle ACB = 90^\circ $.
Таким образом, построенный треугольник ABC является равнобедренным и прямоугольным, а данный отрезок AB — его гипотенузой.

Ответ: Искомый треугольник строится путем нахождения середины данной гипотенузы, возведения из этой точки перпендикуляра и откладывания на нем отрезка, равного половине гипотенузы; конец этого отрезка и будет третьей вершиной треугольника.

676. На рисунке 339 $\angle 1 = \angle 2$, $\angle 3 = \angle 4$, $AD = CF$. Докажите, что $\triangle ABC = \triangle DEF$.

Рис. 339

677. Постройте окружность, центром которой является данная точка на стороне данного острого угла и которая отсекает на другой стороне угла отрезок данной длины.

Анализ и план построения

Пусть дан острый угол $∠A$ со сторонами $s_1$ и $s_2$. На стороне $s_1$ дана точка $O$ — центр искомой окружности. Пусть дан отрезок длины $l$. Окружность должна пересекать сторону $s_2$ в точках $M$ и $N$ так, что хорда $MN$ имеет длину $l$.

Обозначим радиус искомой окружности как $R$. Проведём из центра $O$ перпендикуляр $OH$ на прямую, содержащую сторону $s_2$. Длина этого перпендикуляра, $d = OH$, является расстоянием от центра до хорды $MN$. В равнобедренном треугольнике $OMN$ ($OM=ON=R$) высота $OH$ также является медианой, поэтому $MH = HN = \frac{l}{2}$.

Из прямоугольного треугольника $OHM$ по теореме Пифагора следует: $R^2 = OM^2 = OH^2 + MH^2$. Подставив известные величины, получаем $R^2 = d^2 + (\frac{l}{2})^2$.

Следовательно, для построения окружности необходимо сначала найти её радиус $R$. Этот радиус является гипотенузой прямоугольного треугольника, катеты которого равны расстоянию $d=OH$ и половине длины $l$.

Построение

1. Из точки $O$ опускаем перпендикуляр $OH$ на прямую, содержащую сторону $s_2$. Для этого строим окружность с центром в $O$, пересекающую прямую $s_2$ в двух точках, а затем строим серединный перпендикуляр к отрезку между этими точками.
2. Делим данный отрезок длины $l$ пополам (например, с помощью построения серединного перпендикуляра), чтобы получить отрезок длиной $\frac{l}{2}$.
3. Строим прямоугольный треугольник для нахождения радиуса $R$. Для этого проводим произвольную прямую и восставляем к ней перпендикуляр в некоторой точке $P$. На одном луче откладываем катет, равный $OH$, а на перпендикулярном луче — катет, равный $\frac{l}{2}$. Гипотенуза полученного треугольника будет иметь длину $R$.
4. Строим окружность с центром в точке $O$ и найденным радиусом $R$. Эта окружность и будет искомой, так как она по построению имеет данный центр и отсекает на другой стороне угла хорду нужной длины.

Ответ: Искомая окружность строится с центром в данной точке $O$ и радиусом $R$, который находится как гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами $d$ и $l/2$, где $d$ — расстояние от точки $O$ до другой стороны угла, а $l$ — заданная длина отрезка. Задача всегда имеет единственное решение, поскольку радиус $R=\sqrt{d^2+(l/2)^2}$ всегда будет больше расстояния $d$.

677. В треугольниках ABC и DEF проведены медианы BM и EK соответственно. Известно, что $BC = EF$, $\angle ABC = \angle DEF$, $\angle C = \angle F$. Докажите, что:

1) $\triangle BMC = \triangle EFK$;

2) $\triangle ABM = \triangle DEK$.

678. Как разделить пополам отрезок, длина которого в несколько раз больше наибольшего раствора циркуля?

Для того чтобы разделить пополам отрезок, длина которого в несколько раз больше наибольшего раствора циркуля, можно использовать метод, основанный на свойствах подобных треугольников (в частности, на теореме Фалеса). Построение выполняется с помощью циркуля и линейки.

Пусть дан отрезок $AB$, который необходимо разделить пополам.

1. Через точку $A$ проведите произвольный луч $l$, не лежащий на прямой $AB$.

2. Выберите на циркуле произвольный раствор (радиус) $r$, который меньше или равен его максимальному раствору.

3. На луче $l$, начиная от точки $A$, отложите последовательно два равных отрезка. Сначала постройте окружность (или дугу) с центром в точке $A$ и радиусом $r$. Точку её пересечения с лучом $l$ обозначьте $C$. Затем, не меняя раствора циркуля, постройте окружность (или дугу) с центром в точке $C$ и тем же радиусом $r$. Точку её пересечения с лучом $l$ (отличную от $A$) обозначьте $D$. В результате точка $C$ будет являться серединой отрезка $AD$.

4. Соедините точку $D$ с точкой $B$ при помощи линейки, получив отрезок $DB$. Таким образом, у нас есть треугольник $\triangle ADB$.

5. Теперь необходимо построить прямую, проходящую через точку $C$ и параллельную стороне $DB$. Это можно сделать, скопировав угол $\angle ADB$ в вершину $C$.

   • С помощью циркуля, установленного на произвольный малый раствор $r_1$, проведите дугу с центром в точке $D$, которая пересечет стороны $DA$ и $DB$ в точках $E$ и $F$ соответственно.

   • Не меняя раствора циркуля ($r_1$), проведите дугу с центром в точке $C$, которая пересечет луч $l$ в точке $G$.

   • Измерьте циркулем расстояние $EF$.

   • Проведите дугу с центром в точке $G$ и радиусом, равным $EF$. Точка пересечения этой дуги с дугой, проведенной из точки $C$, даст нам точку $H$.

   • Проведите прямую через точки $C$ и $H$. Эта прямая будет параллельна прямой $DB$ (по построению равных соответственных углов).

6. Построенная прямая $CH$ пересечет исходный отрезок $AB$ в некоторой точке $M$.

В треугольнике $\triangle ADB$ прямая $CM$ проходит через середину стороны $AD$ (точку $C$) и параллельна стороне $DB$. По теореме Фалеса, такая прямая пересекает третью сторону ($AB$) в её середине. Следовательно, точка $M$ является искомой серединой отрезка $AB$. Все построения выполнялись с помощью циркуля, раствор которого не превышал максимально допустимого.

Ответ: Точка $M$, полученная в результате описанного выше геометрического построения, является серединой исходного отрезка.

678. В остроугольных треугольниках $ABC$ и $A_1B_1C_1$ проведены высоты $BD$ и $B_1D_1$ соответственно. Докажите, что $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$, если $BD = B_1D_1$, $AD = A_1D_1$, $CD = C_1D_1$.

679. Постройте прямоугольный треугольник:

1) по острому углу и биссектрисе этого угла;

2) по катету и высоте, проведённой к гипотенузе.

1) по острому углу и биссектрисе этого угла

Пусть дан острый угол $\alpha$ и отрезок $l$ – длина его биссектрисы. Требуется построить прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$, у которого один из острых углов, например $\angle A$, равен $\alpha$, а его биссектриса $AL$ равна $l$.

Анализ:
Рассмотрим искомый треугольник $ABC$. $AL$ – биссектриса угла $A$, значит $\angle CAL = \angle LAB = \alpha/2$. Рассмотрим треугольник $ACL$. В нем $\angle C = 90^\circ$, гипотенуза $AL=l$ и острый угол $\angle CAL = \alpha/2$. Такой треугольник можно построить по гипотенузе и острому углу. Построив его, мы найдем вершины $A$ и $C$, а также точку $L$ на катете $BC$. Вершина $B$ лежит на пересечении луча $AB$ (который образует угол $\alpha$ с лучом $AC$) и прямой $CL$.

Построение:
1. Построим угол, равный данному углу $\alpha$. Пусть его вершина – точка $A$.
2. Построим биссектрису этого угла. Мы получим два угла, равных $\alpha/2$.
3. На биссектрисе отложим от вершины $A$ отрезок $AL$, равный данной длине $l$.
4. Из точки $L$ опустим перпендикуляр $LC$ на одну из сторон угла. Точка $C$ – основание перпендикуляра – будет вершиной прямого угла искомого треугольника.
5. Проведем прямую через точки $C$ и $L$.
6. Эта прямая пересечет вторую сторону угла $\alpha$ в точке $B$.
7. Треугольник $ABC$ – искомый.

Доказательство:
В построенном треугольнике $ABC$: $\angle C = 90^\circ$ по построению (так как $LC \perp AC$). Угол $\angle A$ равен данному углу $\alpha$ по построению. Отрезок $AL$ является биссектрисой угла $A$ по построению, и его длина равна $l$. Следовательно, треугольник $ABC$ удовлетворяет всем условиям задачи.

Ответ: Построение описано и доказано выше.

2) по катету и высоте, проведённой к гипотенузе

Пусть дан отрезок $a$ – длина катета и отрезок $h$ – длина высоты, проведенной к гипотенузе. Требуется построить прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$, у которого катет $BC$ равен $a$, а высота $CD$ (где $D$ – точка на гипотенузе $AB$) равна $h$.

Анализ:
Рассмотрим искомый треугольник $ABC$. Высота $CD$ перпендикулярна гипотенузе $AB$. Рассмотрим треугольник $CDB$. Он прямоугольный, так как $\angle CDB = 90^\circ$. В этом треугольнике нам известны гипотенуза $BC=a$ и катет $CD=h$. Такой треугольник можно построить. Построив его, мы найдем вершины $C$ и $B$, а также точку $D$ на гипотенузе. Вершина $A$ лежит на прямой $BD$. Также, так как $\angle ACB = 90^\circ$, то $AC \perp BC$. Значит, вершина $A$ лежит на прямой, проходящей через $C$ и перпендикулярной $BC$. Таким образом, $A$ – точка пересечения этих двух прямых. Заметим, что построение возможно только при условии $a > h$, так как гипотенуза в прямоугольном треугольнике ($BC$ в $\triangle CDB$) всегда больше катета ($CD$).

Построение:
1. Построим прямоугольный треугольник $CDB$ по гипотенузе $BC=a$ и катету $CD=h$. Для этого:
а) Проведем прямую и отметим на ней точку $D$.
б) Восставим в точке $D$ перпендикуляр к этой прямой и отложим на нем отрезок $CD$, равный $h$.
в) Проведем окружность с центром в точке $C$ и радиусом $a$.
г) Точка пересечения окружности и прямой, проведенной в пункте (а), будет вершиной $B$.
2. Проведем прямую через точки $B$ и $D$. Эта прямая будет содержать гипотенузу искомого треугольника.
3. Проведем прямую через точку $C$ перпендикулярно отрезку $BC$.
4. Точка пересечения прямых из пунктов 2 и 3 будет вершиной $A$.
5. Треугольник $ABC$ – искомый.

Доказательство:
В построенном треугольнике $ABC$: $\angle ACB = 90^\circ$ по построению (так как $AC \perp BC$). Катет $BC$ равен $a$ по построению. Отрезок $CD$ является высотой, так как $CD \perp AB$ по построению, и его длина равна $h$. Следовательно, треугольник $ABC$ удовлетворяет всем условиям задачи.

Ответ: Построение описано и доказано выше.

679. В треугольниках $\triangle ABC$ и $\triangle MKE$ известно, что $AB = MK$, $BC = KE$, $\angle B = \angle K$. На отрезке $AB$ отметили точку $F$, а на отрезке $MK$ – точку $P$ так, что $\angle ACF = \angle MEP$. Какова длина отрезка $CF$, если $PE = 15$ см?

680. Постройте прямоугольный треугольник:

1) по катету и медиане, проведённой к другому катету;

2) по острому углу и высоте, проведённой из вершины прямого угла.

Пусть даны два отрезка: $c_1$ — длина катета, и $m$ — длина медианы, проведенной к другому катету. Необходимо построить прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$, в котором один катет, например $AC$, равен $c_1$, а медиана $AM$ к другому катету $BC$ равна $m$.

Анализ. Рассмотрим искомый треугольник $ABC$ и вспомогательный треугольник $ACM$, где $M$ — середина катета $BC$. Треугольник $ACM$ является прямоугольным, так как $\angle C = 90^\circ$. В этом треугольнике нам известны длины катета $AC = c_1$ и гипотенузы $AM = m$. Таким образом, задача сводится к построению прямоугольного треугольника $ACM$ по катету и гипотенузе. После его построения, мы можем найти вершину $B$, так как $M$ — середина $BC$, следовательно, точка $B$ лежит на луче $CM$ и $CB = 2 \cdot CM$.

Построение:
1. Строим прямой угол с вершиной в точке $C$. Обозначим его стороны (лучи) как $p$ и $q$.
2. На луче $p$ от точки $C$ откладываем отрезок $CA$, равный данному катету $c_1$.
3. Из точки $A$ как из центра проводим дугу окружности радиусом, равным данной медиане $m$.
4. Эта дуга пересечет луч $q$ в точке $M$. Для существования решения необходимо, чтобы $m > c_1$.
5. На луче $CM$ откладываем отрезок $MB$, равный отрезку $CM$.
6. Соединяем точки $A$ и $B$. Треугольник $ABC$ построен.

Доказательство. В построенном треугольнике $ABC$ угол $\angle C = 90^\circ$ по построению. Катет $AC$ равен $c_1$ по построению. Так как точка $M$ является серединой отрезка $BC$ ($CM = MB$ по построению), то отрезок $AM$ является медианой к катету $BC$. Длина этой медианы $AM$ равна $m$ по построению. Следовательно, $\triangle ABC$ — искомый.

Ответ: Треугольник построен согласно приведенному алгоритму. Построение основано на построении вспомогательного прямоугольного треугольника по известному катету и гипотенузе, с последующим удвоением второго катета этого вспомогательного треугольника для нахождения третьей вершины искомого треугольника.

Пусть дан острый угол $\alpha$ и отрезок $h$, равный высоте, проведенной из вершины прямого угла. Требуется построить прямоугольный треугольник $ABC$, в котором $\angle C = 90^\circ$, один из острых углов (например, $\angle A$) равен $\alpha$, а высота $CH$, проведенная к гипотенузе $AB$, равна $h$.

Анализ. Рассмотрим вспомогательный прямоугольный треугольник $ACH$. В нем $\angle AHC = 90^\circ$, катет $CH = h$, а острый угол $\angle CAH$ (совпадающий с $\angle A$) равен $\alpha$. Этот треугольник можно построить по катету и противолежащему острому углу. После его построения мы будем знать положение вершин $A$ и $C$. Вершина $B$ искомого треугольника лежит на прямой $AH$. Так как $\angle ACB = 90^\circ$, то прямая $BC$ должна быть перпендикулярна прямой $AC$. Это позволяет найти положение вершины $B$.

Построение:
1. Проводим произвольную прямую $k$ и выбираем на ней точку $A$.
2. От луча $Ak$ откладываем угол, равный данному углу $\alpha$. Построим луч $m$.
3. Строим прямую $p$, параллельную прямой $k$ и находящуюся на расстоянии $h$ от нее (с той же стороны от $k$, что и луч $m$).
4. Точку пересечения луча $m$ и прямой $p$ обозначаем $C$.
5. В точке $C$ проводим прямую, перпендикулярную отрезку $AC$.
6. Точку пересечения этой перпендикулярной прямой с исходной прямой $k$ обозначаем $B$.
7. Соединяем точки $A$, $B$ и $C$. Треугольник $ABC$ построен.

Доказательство. В построенном треугольнике $ABC$: $\angle A = \alpha$ по построению. Угол $\angle ACB = 90^\circ$, так как $BC \perp AC$ по построению. Отрезок $CH$ (перпендикуляр от $C$ к прямой $k$) является высотой к гипотенузе $AB$. Его длина равна расстоянию между параллельными прямыми $k$ и $p$, то есть $h$. Следовательно, $\triangle ABC$ — искомый.

Ответ: Треугольник построен согласно приведенному алгоритму. Построение основано на построении вспомогательного прямоугольного треугольника по катету (данной высоте) и противолежащему острому углу, с последующим построением перпендикуляра к гипотенузе вспомогательного треугольника для нахождения третьей вершины искомого треугольника.

680. В треугольниках $ABC$ и $DEF$ $AC = DF$, $BC = EF$, $\angle C = \angle F$. Биссектрисы углов $BAC$ и $ABC$ пересекаются в точке $O$, а биссектрисы углов $DEF$ и $EDF$ – в точке $M$. Докажите, что $\triangle AOB = \triangle DME$.

681. Постройте равнобедренный треугольник по основанию и радиусу вписанной окружности.

Для построения равнобедренного треугольника по заданному отрезку-основанию и отрезку-радиусу вписанной окружности, необходимо выполнить последовательность геометрических построений с помощью циркуля и линейки. Решение задачи состоит из анализа, построения и доказательства.

Пусть искомый равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$ и радиусом вписанной окружности $r$ построен. Высота $BH$, опущенная на основание $AC$, является также медианой и биссектрисой угла $\angle ABC$. Это означает, что точка $H$ — середина отрезка $AC$, а сама высота $BH$ лежит на серединном перпендикуляре к основанию.

Центр вписанной окружности, инцентр $I$, является точкой пересечения биссектрис углов треугольника. В равнобедренном треугольнике инцентр всегда лежит на высоте $BH$. Вписанная окружность касается основания $AC$ в точке $H$, поэтому расстояние от инцентра $I$ до основания равно радиусу, то есть $IH=r$.

Таким образом, мы можем определить положение инцентра $I$: он находится на серединном перпендикуляре к основанию $AC$ на расстоянии $r$ от него. Боковая сторона $AB$ является касательной к вписанной окружности, проведенной из вершины $A$.

Задача сводится к построению касательной из точки $A$ к окружности с центром в найденной точке $I$ и радиусом $r$. Точка касания $K$ обладает свойством: радиус $IK$ перпендикулярен касательной $AK$ ($\angle IKA = 90^\circ$). Это означает, что точка касания $K$ лежит на окружности, построенной на отрезке $AI$ как на диаметре. Пересечение этой вспомогательной окружности и вписанной окружности даст нам искомую точку касания $K$. Вершина $B$ будет лежать на пересечении прямой $AK$ и серединного перпендикуляра к основанию.

Пусть даны два отрезка: отрезок $a$ (основание) и отрезок $r$ (радиус вписанной окружности).

1. На произвольной прямой отложим отрезок $AC$, равный по длине отрезку $a$.
2. С помощью циркуля и линейки построим серединный перпендикуляр $m$ к отрезку $AC$. Точку пересечения перпендикуляра с отрезком $AC$ обозначим $H$.
3. На перпендикуляре $m$ от точки $H$ отложим отрезок $HI$, равный по длине отрезку $r$. Точка $I$ — это центр будущей вписанной окружности.
4. Проведем отрезок $AI$.
5. Построим окружность, для которой отрезок $AI$ является диаметром. Для этого найдем середину $M$ отрезка $AI$ и из точки $M$ проведем окружность радиусом $MA$.
6. Построенная на диаметре $AI$ окружность пересечет окружность с центром в точке $I$ и радиусом $r=IH$ в двух точках. Одна из них — точка $H$. Другую точку пересечения обозначим $K$.
7. Проведем луч с началом в точке $A$, проходящий через точку $K$.
8. Точка пересечения этого луча с прямой $m$ (серединным перпендикуляром) является искомой вершиной $B$.
9. Соединим точки $B$ и $C$ отрезком.

Треугольник $ABC$ построен.

Докажем, что построенный треугольник $ABC$ является искомым.

1. По построению, вершина $B$ лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $AC$. Любая точка серединного перпендикуляра равноудалена от концов отрезка, следовательно, $AB = BC$. Таким образом, треугольник $ABC$ — равнобедренный.
2. Основание $AC$ было построено равным заданной длине $a$.
3. Рассмотрим окружность с центром в точке $I$ и радиусом $r=IH$. По построению, $AC \perp IH$, значит, $AC$ является касательной к этой окружности в точке $H$.
4. Точка $K$ лежит на окружности с диаметром $AI$. Следовательно, угол $\angle AKI$, опирающийся на диаметр, является прямым, то есть $\angle AKI = 90^\circ$. Это означает, что прямая $AB$ (проходящая через точки $A$ и $K$) перпендикулярна радиусу $IK$. Значит, $AB$ — касательная к окружности с центром $I$ и радиусом $IK$. Так как $K$ лежит на этой окружности, $IK=IH=r$.
5. Поскольку треугольник $ABC$ равнобедренный и $BH$ — его ось симметрии, то сторона $BC$ также является касательной к окружности с центром $I$ и радиусом $r$.
6. Таким образом, окружность с центром $I$ и радиусом $r$ касается всех трех сторон треугольника $ABC$, то есть является вписанной в него.

Следовательно, построенный треугольник $ABC$ является равнобедренным треугольником с заданным основанием $a$ и радиусом вписанной окружности $r$.

Ответ: Построенный по вышеописанному алгоритму треугольник $ABC$ является искомым.

681. На продолжении основания $BC$ равнобедренного треугольника $ABC$ за точку $B$ отметили точку $M$ такую, что $\angle MBA = 128^\circ$. Найдите угол между боковой стороной $AC$ и биссектрисой угла $ACB$.

682. Постройте треугольник по стороне, прилежащему к ней углу и биссектрисе треугольника, проведённой из вершины этого угла.

Для построения треугольника по стороне, прилежащему к ней углу и биссектрисе, проведённой из вершины этого угла, выполним следующие шаги, основанные на анализе задачи.

Пусть искомый треугольник $ABC$ построен. Нам известны сторона $BC$, угол $\angle ABC = \beta$ и длина биссектрисы $BD = l_b$, где $D$ — точка на стороне $AC$.

Мы можем построить угол $\angle ABC$, равный $\beta$, и отложить на одной из его сторон отрезок $BC$, равный данной стороне $a$. Вершина $A$ будет лежать на второй стороне этого угла.

Биссектриса $BD$ делит угол $\angle ABC$ на два равных угла: $\angle ABD = \angle DBC = \beta / 2$. Мы можем построить луч $BD$, который является биссектрисой угла $\angle ABC$.

Точка $D$ лежит на этом луче на расстоянии $l_b$ от вершины $B$. Таким образом, мы можем однозначно определить положение точки $D$.

Поскольку $D$ — это точка пересечения биссектрисы со стороной $AC$, то точки $A$, $D$, $C$ лежат на одной прямой. Зная положение точек $C$ и $D$, мы можем провести через них прямую. Точка пересечения этой прямой со второй стороной угла $\angle ABC$ и будет искомой вершиной $A$.

На основе этого анализа составим план построения.

1. Построим угол, равный данному углу $\beta$. Обозначим его вершину буквой $B$.
2. На одной из сторон этого угла отложим от вершины $B$ отрезок $BC$, равный данной стороне.
3. Построим биссектрису угла $\angle ABC$. Пусть это будет луч $BM$.
4. На луче $BM$ отложим от вершины $B$ отрезок $BD$, равный данной длине биссектрисы $l_b$.
5. Проведём прямую через точки $C$ и $D$.
6. Точка пересечения прямой $CD$ со второй стороной исходного угла (лучом, на котором не лежит точка $C$) будет искомой вершиной $A$.
7. Соединим точки $A$, $B$ и $C$. Полученный треугольник $ABC$ является искомым.

В построенном треугольнике $ABC$ сторона $BC$ имеет заданную длину по построению (шаг 2). Угол $\angle ABC$ равен заданному углу $\beta$ по построению (шаг 1). Отрезок $BD$ соединяет вершину $B$ с точкой $D$ на противоположной стороне $AC$. Так как точка $D$ лежит на биссектрисе угла $\angle ABC$ (по шагу 3), то $BD$ является биссектрисой этого угла. Длина $BD$ равна заданной длине $l_b$ по построению (шаг 4). Таким образом, построенный треугольник $ABC$ удовлетворяет всем условиям задачи.

Задача имеет единственное решение, если прямая $CD$ пересекает второй луч угла в одной точке. Если прямая $CD$ окажется параллельной этому лучу, решения не существует.

Ответ: Построение выполнено в соответствии с приведённым выше планом. Треугольник $ABC$ построен.

682. Из точек $A$ и $B$, лежащих в одной полуплоскости относительно прямой $m$, опущены на эту прямую перпендикуляры $AC$ и $BD$ соответственно. Точки $A$ и $B$ равноудалены от прямой $m$, точка $O$ – середина отрезка $CD$. Докажите, что $\triangle AOB$ – равнобедренный.

683. Постройте треугольник по стороне, медиане, проведённой к одной из двух других сторон, и углу между данной стороной и медианой.

Для решения задачи выполним последовательно анализ, построение, доказательство и исследование.

Анализ

Пусть искомый треугольник $ABC$ построен. Согласно условию, нам известны:

• длина одной из сторон, например, $AC = s$;
• длина медианы, проведенной к одной из двух других сторон, например, медианы $CM_c$ к стороне $AB$, $CM_c = m$;
• угол между данной стороной и данной медианой, то есть $\angle ACM_c = \alpha$.

Рассмотрим треугольник $ACM_c$. В этом треугольнике нам известны длины двух сторон ($AC = s$ и $CM_c = m$) и угол между ними ($\angle ACM_c = \alpha$). По двум сторонам и углу между ними треугольник можно построить однозначно.

После построения треугольника $ACM_c$ у нас будут определены вершины $A$ и $C$, а также точка $M_c$, которая является серединой стороны $AB$ искомого треугольника $ABC$.

Зная положение точек $A$ и $M_c$, мы можем найти третью вершину $B$. Точка $B$ должна лежать на прямой $AM_c$ так, чтобы $M_c$ была серединой отрезка $AB$. Это означает, что точка $B$ является результатом продления отрезка $AM_c$ за точку $M_c$ на его собственную длину ($M_cB = AM_c$).

Таким образом, задача сводится к построению вспомогательного треугольника $ACM_c$ и последующему нахождению вершины $B$.

Построение

Пусть даны отрезок $s$ (длина стороны), отрезок $m$ (длина медианы) и угол $\alpha$.

1. Построим угол, равный данному углу $\alpha$. Обозначим его вершину буквой $C$.
2. На одной из сторон угла отложим от вершины $C$ отрезок $CA$, равный по длине отрезку $s$.
3. На другой стороне угла отложим от вершины $C$ отрезок $CM_c$, равный по длине отрезку $m$.
4. Соединим точки $A$ и $M_c$. В результате будет построен треугольник $ACM_c$.
5. Проведем луч с началом в точке $A$, проходящий через точку $M_c$.
6. На этом луче отложим от точки $M_c$ отрезок $M_cB$, равный по длине отрезку $AM_c$.
7. Соединим точки $B$ и $C$.

Треугольник $ABC$ является искомым.

Доказательство

Проверим, что построенный треугольник $ABC$ удовлетворяет всем условиям задачи.

1. Сторона $AC$ построена равной данному отрезку $s$ (согласно шагу 2 построения).

2. Отрезок $CM_c$ по построению имеет длину, равную данному отрезку $m$ (шаг 3). Точки $A$, $M_c$ и $B$ лежат на одной прямой, и по построению $AM_c = M_cB$ (шаг 6). Следовательно, точка $M_c$ является серединой стороны $AB$. Таким образом, отрезок $CM_c$ является медианой треугольника $ABC$, проведенной к стороне $AB$.

3. Угол между стороной $AC$ и медианой $CM_c$, $\angle ACM_c$, построен равным данному углу $\alpha$ (шаг 1).

Все условия задачи выполнены, следовательно, треугольник $ABC$ является искомым.

Исследование

Задача о построении треугольника $ACM_c$ по двум сторонам ($s$ и $m$) и углу между ними ($\alpha$) имеет единственное решение тогда и только тогда, когда длины отрезков $s$ и $m$ положительны ($s > 0, m > 0$), а угол $\alpha$ находится в пределах от $0^\circ$ до $180^\circ$ ($0^\circ < \alpha < 180^\circ$).

Все последующие шаги построения (проведение луча, откладывание отрезка) выполняются однозначно. Следовательно, при выполнении указанных условий задача имеет единственное решение.

Следует отметить, что условие "медиане, проведённой к одной из двух других сторон" допускает второй симметричный случай: когда дана сторона $AC$, но медиана проведена из вершины $A$ к стороне $BC$ ($AM_a=m$), а угол дан между $AC$ и $AM_a$ ($\angle CAM_a=\alpha$). Алгоритм построения в этом случае будет аналогичным: сначала строится вспомогательный треугольник $AM_aC$, а затем находится вершина $B$ на продолжении отрезка $CM_a$ за точку $M_a$ на расстояние, равное $CM_a$.

Ответ: Построение основано на методе вспомогательного треугольника. Сначала по данной стороне ($s$), данной медиане ($m$) и данному углу между ними ($\alpha$) строится вспомогательный треугольник ($ACM_c$). Затем, используя свойство медианы (то, что она делит противоположную сторону пополам), на луче $AM_c$ находится третья вершина $B$ так, что $AM_c = M_cB$. Полученный треугольник $ABC$ является искомым. Задача имеет единственное решение, если $s>0, m>0$ и $0^\circ < \alpha < 180^\circ$.

683. На рисунке 340 $AB = BC, AD = FC, \angle ADE = \angle CFE$. Докажите, что точка $E$ – середина отрезка $AC$.

Рис. 340

684. Постройте треугольник по стороне, прилежащему к ней острому углу и высоте, проведённой к данной стороне.

Для построения треугольника по стороне, прилежащему к ней острому углу и высоте, проведённой к этой стороне, выполним следующие шаги. Пусть нам даны отрезок, равный стороне $a$, угол, равный $\alpha$, и отрезок, равный высоте $h_a$.

Анализ

Предположим, что искомый треугольник $ABC$ построен. Пусть $BC$ — данная сторона, то есть $BC = a$. Угол, прилежащий к ней, — $\angle B = \alpha$. Высота, проведённая к стороне $BC$, — это перпендикуляр $AH$, опущенный из вершины $A$ на прямую $BC$, и его длина равна $h_a$.

Из этого следует, что вершина $A$ должна удовлетворять двум условиям:

1. Вершина $A$ должна лежать на луче, исходящем из точки $B$ под углом $\alpha$ к стороне $BC$.
2. Вершина $A$ должна быть удалена от прямой, содержащей сторону $BC$, на расстояние $h_a$. Геометрическим местом точек, равноудалённых от прямой, является пара параллельных прямых.

Следовательно, вершина $A$ является точкой пересечения этих двух геометрических мест: луча и прямой, параллельной стороне $BC$.

Построение

1. Начертим произвольную прямую $l$. На ней выберем точку $B$ — одну из вершин будущего треугольника.
2. С помощью циркуля отложим от точки $B$ на прямой $l$ отрезок $BC$, равный данной стороне $a$.
3. От луча $BC$ построим угол, равный данному углу $\alpha$. Получим луч $m$. Вершина $A$ будет лежать на этом луче.
4. Теперь построим прямую, параллельную $l$ и отстоящую от неё на расстояние $h_a$. Для этого:
   • В любой точке прямой $l$ (удобно взять точку $B$) восстановим перпендикуляр к прямой $l$.
   • На этом перпендикуляре отложим от точки $B$ отрезок, равный данной высоте $h_a$. Обозначим конец этого отрезка точкой $D$.
   • Через точку $D$ проведём прямую $p$, параллельную прямой $l$. Все точки прямой $p$ находятся на расстоянии $h_a$ от прямой $l$.
5. Точка пересечения луча $m$ и прямой $p$ и будет искомой вершиной $A$. Так как по условию угол $\alpha$ острый ($0^\circ < \alpha < 90^\circ$), луч $m$ не параллелен прямой $p$ и пересечёт её в единственной точке.
6. Соединим точки $A$ и $C$ отрезком. Треугольник $ABC$ построен.

Доказательство

В построенном треугольнике $ABC$ по построению выполнены все условия задачи:

• Сторона $BC$ равна данной стороне $a$.
• Угол $\angle ABC$ равен данному углу $\alpha$.
• Высота, проведённая из вершины $A$ к прямой $BC$, равна $h_a$, так как точка $A$ лежит на прямой $p$, которая параллельна прямой $BC$ и находится от неё на расстоянии $h_a$.

Следовательно, построенный треугольник $ABC$ является искомым.

Ответ: Треугольник успешно построен согласно приведенному алгоритму, так как все условия задачи выполнены.

684. Равнобедренные треугольники $ABC$ и $ADC$ имеют общее основание $AC$. Докажите, что прямая $BD$ — серединный перпендикуляр отрезка $AC$.