Страница 177 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

737. Постройте треугольник по периметру и двум углам.

Задача построения треугольника по заданному периметру $P$ и двум углам $\alpha$ и $\beta$ решается в несколько этапов: анализ, построение, доказательство и исследование.

Предположим, что искомый треугольник $ABC$ построен. Пусть его периметр равен $P$, а углы при основании $BC$ равны $\beta$ и $\alpha$ соответственно, то есть $\angle ABC = \beta$ и $\angle ACB = \alpha$.

Продолжим сторону $BC$ за точки $B$ и $C$. На продолжении отложим отрезок $BD$, равный стороне $AB$, и отрезок $CE$, равный стороне $AC$. В результате получим отрезок $DE$, длина которого равна $DB + BC + CE = AB + BC + AC = P$.

Рассмотрим треугольник $ADB$. Так как по построению $AB = DB$, этот треугольник является равнобедренным. Углы при его основании $AD$ равны: $\angle D = \angle DAB$. Угол $ABC$ является внешним для треугольника $ADB$ при вершине $B$. По свойству внешнего угла, $\angle ABC = \angle D + \angle DAB$. Поскольку $\angle ABC = \beta$ и $\angle D = \angle DAB$, получаем $2 \cdot \angle D = \beta$, откуда $\angle D = \beta/2$.

Аналогично, рассмотрим треугольник $AEC$. Так как $AC = CE$, он также равнобедренный. Углы при его основании $AE$ равны: $\angle E = \angle EAC$. Угол $ACB$ является внешним для треугольника $AEC$ при вершине $C$. Следовательно, $\angle ACB = \angle E + \angle EAC$. Поскольку $\angle ACB = \alpha$, получаем $2 \cdot \angle E = \alpha$, откуда $\angle E = \alpha/2$.

Таким образом, для построения искомого треугольника $ABC$ мы можем сначала построить вспомогательный треугольник $ADE$. Для него известна сторона $DE = P$ и два прилежащих к ней угла: $\angle D = \beta/2$ и $\angle E = \alpha/2$. Вершина $A$ находится как точка пересечения лучей, построенных из точек $D$ и $E$ под соответствующими углами.

Вершины $B$ и $C$ исходного треугольника лежат на отрезке $DE$. Так как $AB = DB$, точка $B$ равноудалена от $A$ и $D$, а значит, лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $AD$. Аналогично, так как $AC = CE$, точка $C$ лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $AE$.

На основе этого анализа можно составить план построения.

Пусть дан отрезок, равный периметру $P$, и два угла $\alpha$ и $\beta$.

1. Начертим прямую и отложим на ней отрезок $DE$ длиной $P$.
2. С помощью циркуля и линейки построим биссектрисы данных углов $\alpha$ и $\beta$, чтобы получить углы $\alpha/2$ и $\beta/2$.
3. От луча $DE$ в одной полуплоскости построим угол $\angle EDA'$, равный $\beta/2$.
4. От луча $ED$ в той же полуплоскости построим угол $\angle DEA'$, равный $\alpha/2$.
5. Точку пересечения лучей $DA'$ и $EA'$ обозначим как $A$.
6. Построим серединный перпендикуляр к отрезку $AD$. Точку его пересечения с отрезком $DE$ обозначим $B$.
7. Построим серединный перпендикуляр к отрезку $AE$. Точку его пересечения с отрезком $DE$ обозначим $C$.
8. Соединим точки $A$, $B$ и $C$. Треугольник $ABC$ — искомый.

Проверим, что построенный треугольник $ABC$ удовлетворяет условиям задачи.

1. Периметр. Периметр треугольника $ABC$ по определению равен $AB + BC + AC$.

По построению точка $B$ лежит на серединном перпендикуляре к $AD$, следовательно, $AB = DB$.

Точка $C$ лежит на серединном перпендикуляре к $AE$, следовательно, $AC = CE$.

Заменяя в формуле периметра $AB$ на $DB$ и $AC$ на $CE$, получаем: $P_{ABC} = DB + BC + CE$.

Поскольку точки $B$ и $C$ лежат на отрезке $DE$, сумма $DB + BC + CE$ равна длине отрезка $DE$. По построению $DE = P$. Таким образом, периметр треугольника $ABC$ равен $P$.

2. Углы.

В треугольнике $ADB$, поскольку $AB = DB$, он является равнобедренным. Значит, $\angle DAB = \angle D$. По построению, $\angle D = \beta/2$.

Угол $ABC$ — внешний угол треугольника $ADB$ при вершине $B$. Его величина равна сумме двух внутренних углов, не смежных с ним: $\angle ABC = \angle D + \angle DAB = \beta/2 + \beta/2 = \beta$.

Аналогично, в треугольнике $AEC$ стороны $AC = CE$, поэтому он равнобедренный. Значит, $\angle EAC = \angle E$. По построению, $\angle E = \alpha/2$.

Угол $ACB$ — внешний угол треугольника $AEC$ при вершине $C$. Его величина равна $\angle ACB = \angle E + \angle EAC = \alpha/2 + \alpha/2 = \alpha$.

Таким образом, построенный треугольник $ABC$ имеет периметр $P$ и углы, равные $\alpha$ и $\beta$.

Задача имеет решение тогда и только тогда, когда сумма данных углов меньше $180^\circ$, то есть $\alpha + \beta < 180^\circ$.

Если это условие выполнено, то сумма углов $\angle D + \angle E = \alpha/2 + \beta/2 = (\alpha + \beta)/2 < 90^\circ$. Так как сумма двух углов в треугольнике $ADE$ меньше $180^\circ$, лучи $DA'$ и $EA'$ пересекутся, и вершина $A$ будет определена однозначно. Серединные перпендикуляры к $AD$ и $AE$ также определяются однозначно, а значит, и точки $B$ и $C$. При этом точки $B$ и $C$ будут лежать между $D$ и $E$.

Если $\alpha + \beta \ge 180^\circ$, то такой треугольник не существует, и построение выполнить невозможно.

При условии $\alpha + \beta < 180^\circ$ задача имеет единственное решение (с точностью до конгруэнтности).

Ответ: описан алгоритм построения треугольника по периметру и двум углам, приведено доказательство его корректности и исследованы условия существования решения.

737. Докажите, что хорда окружности, которая перпендикулярна другой хорде этой окружности и проходит через её середину, является диаметром данной окружности.

738. Постройте остроугольный треугольник по периметру, одному из углов и высоте, проведённой из вершины другого угла.

Анализ

Пусть искомый остроугольный треугольник – это $ABC$. По условию задачи нам даны его периметр $P = a+b+c$, один из углов (пусть это будет $\angle B = \beta$) и высота, проведенная из вершины другого угла (пусть это будет высота $h_c$, проведенная из вершины $C$ к стороне $AB$).

Рассмотрим прямоугольный треугольник $BCH_c$, где $H_c$ – основание высоты $h_c$ на прямой $AB$. В этом треугольнике катет $CH_c = h_c$ противолежит углу $\angle B = \beta$. Следовательно, мы можем выразить длину стороны $a = BC$ (гипотенузы в $\triangle BCH_c$):$a = \frac{h_c}{\sin\beta}$Эту длину можно построить с помощью циркуля и линейки.

После того как мы определили длину стороны $a$, задача сводится к построению треугольника по стороне $a$, прилежащему к ней углу $\beta$ и сумме двух других сторон $b+c = P-a$.

Для решения этой классической задачи на построение воспользуемся методом вспомогательного треугольника. Предположим, что треугольник $ABC$ уже построен. На луче $BA$ отложим от точки $A$ отрезок $AD$, равный стороне $AC=b$. В этом случае точка $A$ окажется между точками $B$ и $D$, а длина отрезка $BD$ будет равна $BA+AD = c+b$.Рассмотрим вспомогательный треугольник $BCD$. В нем нам известны:

• сторона $BC=a$;
• сторона $BD=b+c$;
• угол между ними $\angle CBD = \beta$.

Треугольник $ACD$ является равнобедренным, так как по построению $AC=AD=b$. Это означает, что вершина $A$ равноудалена от точек $C$ и $D$, а значит, лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $CD$. Также вершина $A$ по построению лежит на прямой $BD$.Таким образом, искомая вершина $A$ – это точка пересечения прямой $BD$ и серединного перпендикуляра к отрезку $CD$. Это дает нам четкий план для построения.

Построение

Сначала построим отрезки, равные по длине стороне $a$ и сумме сторон $b+c$.

1. Построим прямоугольный треугольник с острым углом $\beta$ и противолежащим ему катетом $h_c$. Гипотенуза этого треугольника будет равна искомой стороне $a$. Для этого строим прямой угол; на одной из его сторон откладываем отрезок, равный $h_c$; из конца этого отрезка (не из вершины прямого угла) проводим луч под углом $90^\circ - \beta$ к отрезку $h_c$ до пересечения со второй стороной прямого угла. Полученная гипотенуза и будет отрезком, равным $a$.
2. Построим отрезок, равный $b+c$. Для этого на прямой отложим отрезок, равный заданному периметру $P$, и из одного его конца вычтем (отложим внутрь) отрезок, равный $a$. Оставшаяся часть отрезка будет иметь длину $b+c = P-a$.

Теперь выполним построение искомого треугольника $ABC$.

3. Проведем прямую и отложим на ней отрезок $BC$, равный построенной на шаге 1 стороне $a$.
4. От точки $B$ построим луч $BX$ так, чтобы угол $\angle CBX$ был равен заданному углу $\beta$.
5. На луче $BX$ от точки $B$ отложим отрезок $BD$, равный построенной на шаге 2 длине $b+c$.
6. Соединим точки $C$ и $D$ отрезком.
7. Построим серединный перпендикуляр к отрезку $CD$.
8. Точка пересечения этого серединного перпендикуляра с отрезком $BD$ является искомой вершиной $A$.
9. Соединим точки $A$ и $C$. Треугольник $ABC$ построен.

Доказательство

Проверим, что построенный треугольник $ABC$ удовлетворяет всем условиям задачи.

• Сторона $BC$ по построению равна $a$.
• Угол $\angle ABC$ (он же $\angle CBD$) при вершине $B$ по построению равен $\beta$.
• Высота, проведенная из вершины $C$ к стороне $AB$, равна $h_c$. В прямоугольном треугольнике с гипотенузой $BC=a$ и острым углом $\beta$ высота из $C$ на прямую $AB$ равна $a \cdot \sin\beta$. Так как мы строили сторону $a$ из соотношения $a = \frac{h_c}{\sin\beta}$, то высота действительно равна $h_c = a \cdot \sin\beta$.
• Периметр треугольника равен $P$. Точка $A$ лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $CD$, следовательно, $AC = AD$. Точка $A$ лежит на отрезке $BD$, поэтому $AB + AD = BD$. Заменив $AD$ на равный ему отрезок $AC$, получаем $AB + AC = BD$. По построению, длина $BD$ равна $b+c=P-a$. Таким образом, сумма сторон $AB+AC$ равна $P-a$. Периметр треугольника $ABC$ равен $BC + AB + AC = a + (AB+AC) = a + (P-a) = P$.

Все условия задачи выполнены, следовательно, построенный треугольник $ABC$ является искомым. Условие, что треугольник должен быть остроугольным, накладывает определенные ограничения на исходные данные ($P, \beta, h_c$), при которых углы $\angle A$ и $\angle C$ будут острыми. Задача предполагает, что такие данные существуют.

Ответ:Построение искомого треугольника выполняется в два основных этапа. На первом этапе, используя данные (угол $\beta$ и высоту $h_c$), строится сторона $a$, прилежащая к этому углу ($a = h_c/\sin\beta$). Затем находится сумма двух других сторон как разность между периметром $P$ и стороной $a$. На втором этапе выполняется построение треугольника по стороне $a$, углу $\beta$ и сумме сторон $b+c$. Для этого строится отрезок $BC=a$, из вершины $B$ под углом $\beta$ проводится луч, на котором откладывается отрезок $BD=b+c$. Искомая вершина $A$ находится как пересечение отрезка $BD$ и серединного перпендикуляра к отрезку $CD$.

738. Отрезки $AB$, $AC$ и $BD$ – соответственно диаметр и хорды окружности, причём $AC \parallel BD$. Докажите, что отрезок $CD$ – диаметр окружности.

739. Постройте треугольник по высоте и медиане, проведённым из одной вершины, и радиусу описанной окружности.

Пусть искомый треугольник — это $\triangle ABC$, $AH$ — его высота, $AM$ — медиана, проведенные из вершины $A$, и $R$ — радиус описанной окружности. Нам даны длины $h_a = AH$, $m_a = AM$ и радиус $R$.

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник $AHM$ (угол $H$ прямой). В этом треугольнике известны гипотенуза $AM = m_a$ и катет $AH = h_a$. Мы можем построить этот треугольник. Это позволит нам определить положение вершины $A$ и прямой, на которой лежит сторона $BC$ (это прямая, проходящая через точки $H$ и $M$).

2. Центр $O$ описанной окружности $\triangle ABC$ равноудален от всех его вершин. Следовательно, расстояние $OA$ равно радиусу $R$. Это означает, что точка $O$ лежит на окружности с центром в точке $A$ и радиусом $R$.

3. Также центр описанной окружности $O$ лежит на серединном перпендикуляре к стороне $BC$. Поскольку $M$ — середина $BC$, то серединный перпендикуляр к $BC$ — это прямая, проходящая через точку $M$ и перпендикулярная прямой $BC$.

4. Таким образом, положение центра $O$ можно найти как точку пересечения двух геометрических мест: окружности с центром $A$ и радиусом $R$ и прямой, перпендикулярной $HM$ в точке $M$.

5. После нахождения центра $O$ мы можем построить описанную окружность. Вершины $B$ и $C$ будут лежать на пересечении этой окружности с прямой, содержащей сторону $BC$.

1. Построим прямоугольный треугольник $AHM$ по катету $AH=h_a$ и гипотенузе $AM=m_a$. Для этого:

a. Проведем произвольную прямую $l$.

b. Выберем на ней точку $H$ и восставим из нее перпендикуляр к прямой $l$.

c. На перпендикуляре отложим отрезок $AH$, равный данной высоте $h_a$.

d. Построим окружность с центром в точке $A$ и радиусом, равным данной медиане $m_a$. Точка пересечения этой окружности с прямой $l$ будет точкой $M$.

2. Через точку $M$ проведем прямую $p$, перпендикулярную прямой $l$.

3. Построим окружность с центром в точке $A$ и радиусом $R$ (данный радиус описанной окружности). Точка (или точки) пересечения этой окружности с прямой $p$ является центром описанной окружности $O$.

4. Построим окружность с центром в найденной точке $O$ и радиусом $R$.

5. Точки пересечения этой окружности с прямой $l$ являются вершинами $B$ и $C$ искомого треугольника.

6. Соединим точки $A$, $B$ и $C$. Полученный треугольник $ABC$ — искомый.

Ответ: Треугольник $ABC$, построенный согласно приведенному алгоритму, является искомым.

По построению, $AH$ — перпендикуляр, опущенный из вершины $A$ на прямую $l$, содержащую сторону $BC$. Следовательно, $AH$ — высота треугольника $ABC$, и ее длина равна $h_a$.

По построению, точка $M$ лежит на прямой $l$. Центр $O$ окружности, проходящей через точки $B$ и $C$, лежит на прямой $p$, которая является перпендикуляром к $l$ в точке $M$. Следовательно, прямая $p$ — серединный перпендикуляр к отрезку $BC$, а $M$ — его середина. Таким образом, $AM$ — медиана треугольника $ABC$, и ее длина по построению равна $m_a$.

По построению, точки $A$, $B$ и $C$ лежат на окружности с центром $O$ и радиусом $R$. Следовательно, $R$ — радиус описанной окружности треугольника $ABC$.

Таким образом, построенный треугольник $ABC$ удовлетворяет всем условиям задачи.

Задача имеет решение не при любых значениях $h_a, m_a$ и $R$.

1. Для построения прямоугольного треугольника $AHM$ (шаг 1) необходимо, чтобы гипотенуза была не меньше катета, то есть $m_a \ge h_a$. Если $m_a < h_a$, задача не имеет решений.

2. Для нахождения центра $O$ (шаг 3) необходимо, чтобы окружность с центром $A$ и радиусом $R$ пересекала прямую $p$. Расстояние от точки $A$ до прямой $p$ равно длине отрезка $HM$. Из треугольника $AHM$ по теореме Пифагора $HM = \sqrt{AM^2 - AH^2} = \sqrt{m_a^2 - h_a^2}$. Таким образом, для существования точки пересечения $O$ необходимо, чтобы $R \ge HM$, то есть $R \ge \sqrt{m_a^2 - h_a^2}$. Если это условие не выполнено, решений нет.

• Если $R > HM$, то существуют две точки $O_1$ и $O_2$, симметричные относительно прямой $AM$. Это может привести к двум различным (неконгруэнтным) решениям.

• Если $R = HM$, то существует только одна точка $O$, и задача может иметь не более одного решения.

3. Для нахождения вершин $B$ и $C$ (шаг 5) необходимо, чтобы построенная описанная окружность пересекала прямую $l$. Это условие ($OM \le R$) выполняется хотя бы для одного из возможных центров $O$, если выполнены предыдущие условия.

В зависимости от соотношений между $h_a, m_a$ и $R$ задача может не иметь решений, иметь одно решение или два различных решения.

739. В треугольнике $ABC$ $AB = BC$, точка $O$ – центр вписанной окружности, точки $D$ и $E$ – точки касания вписанной окружности со сторонами $AC$ и $AB$ соответственно, $\angle ABC = 48^\circ$. Найдите $\angle DOE$.

740. Постройте треугольник по двум сторонам и медиане, проведённой к третьей стороне.

Пусть даны отрезки, равные по длине двум сторонам треугольника $a$ и $b$, и медиане $m_c$, проведенной к третьей стороне. Задача состоит в построении треугольника $ABC$ с помощью циркуля и линейки так, чтобы $BC=a$, $AC=b$, а медиана $CM$ к стороне $AB$ имела длину $m_c$.

Анализ

Предположим, что искомый треугольник $ABC$ уже построен. Пусть $M$ — середина стороны $AB$. Тогда $CM$ — медиана, и по условию $CM = m_c$. Продлим медиану $CM$ за точку $M$ на ее длину до точки $D$, так что $MD = CM$. Таким образом, длина отрезка $CD$ равна $2m_c$.

Рассмотрим четырехугольник $ADBC$. Его диагонали $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $M$. По определению медианы, $AM = MB$. По нашему построению, $CM = MD$. Поскольку диагонали четырехугольника $ADBC$ в точке пересечения делятся пополам, этот четырехугольник является параллелограммом.

Основное свойство параллелограмма — равенство противолежащих сторон. Следовательно, $AD = BC = a$ и $BD = AC = b$.

Это сводит нашу задачу к построению вспомогательного треугольника $ACD$. Все три стороны этого треугольника нам известны: $AC = b$, $AD = a$ и $CD = 2m_c$. Построив треугольник $ACD$ по трем сторонам, мы сможем найти искомую вершину $B$.

Построение

1. На произвольной прямой откладываем отрезок $CD$, длина которого равна удвоенной длине медианы, то есть $2m_c$.
2. Из точки $C$ как из центра проводим дугу окружности радиусом, равным длине стороны $b$.
3. Из точки $D$ как из центра проводим дугу окружности радиусом, равным длине стороны $a$.
4. Точку пересечения этих двух дуг обозначаем буквой $A$. Соединяем точки $A$, $C$ и $D$, получая треугольник $ACD$. (Если дуги не пересекаются, задача не имеет решения).
5. Находим середину отрезка $CD$, точку $M$. Это можно сделать, построив серединный перпендикуляр к $CD$.
6. Проводим прямую через точки $A$ и $M$.
7. На этой прямой от точки $M$ откладываем отрезок $MB$, равный отрезку $AM$, так, чтобы точка $M$ находилась между $A$ и $B$.
8. Соединяем точку $B$ с точками $A$ и $C$. Полученный треугольник $ABC$ является искомым.

Доказательство

В построенном треугольнике $ABC$ сторона $AC$ по построению равна $b$. Рассмотрим четырехугольник $ADBC$. По построению, его диагонали $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $M$, причем $AM=MB$ и $CM=MD$. Следовательно, $ADBC$ — параллелограмм. Из этого следует, что $BC = AD$. Так как при построении треугольника $ACD$ мы откладывали $AD = a$, то и $BC = a$. Отрезок $CM$ соединяет вершину $C$ с серединой противолежащей стороны $AB$, значит, $CM$ — медиана треугольника $ABC$. По построению, $CD = 2m_c$ и $M$ — середина $CD$, следовательно, длина медианы $CM$ равна $m_c$. Таким образом, построенный треугольник $ABC$ удовлетворяет всем условиям задачи.

Исследование

Построение возможно тогда и только тогда, когда возможно построение вспомогательного треугольника $ACD$ со сторонами $a$, $b$ и $2m_c$. Для этого необходимо, чтобы для этих трех длин выполнялось неравенство треугольника:

• $a + b > 2m_c$
• $a + 2m_c > b$
• $b + 2m_c > a$

Если эти условия соблюдены, дуги в пункте 4 построения пересекутся, и задача будет иметь единственное решение (с точностью до конгруэнтности, так как выбор второй точки пересечения дуг даст треугольник, симметричный первому). Если $a + b \le 2m_c$ или одно из двух других неравенств не выполняется, то построить треугольник $ACD$ и, следовательно, искомый треугольник $ABC$ невозможно.
Ответ: искомый треугольник может быть построен по описанному алгоритму, если длины сторон $a$, $b$ и удвоенной медианы $2m_c$ удовлетворяют неравенству треугольника.

740. Окружность, вписанная в треугольник $ABC$, касается его сторон $AB$, $BC$ и $AC$ в точках $K$, $M$ и $E$ соответственно, $AK = BM = CE$. Докажите, что треугольник $ABC$ – равносторонний.

741. Постройте треугольник по стороне, высоте, проведённой к этой стороне, и медиане, проведённой к одной из двух других сторон.

Пусть нам нужно построить треугольник $ABC$ по стороне $AB = c$, высоте $CH = h_c$, проведённой к этой стороне, и медиане $AM = m_a$, проведённой к стороне $BC$.

Анализ

Предположим, что искомый треугольник $ABC$ построен.
1. Сторона $AB$ имеет заданную длину $c$.
2. Вершина $C$ удалена от прямой $AB$ на расстояние $h_c$. Следовательно, точка $C$ лежит на одной из двух прямых, параллельных $AB$ и находящихся на расстоянии $h_c$ от неё. Выберем одну из них, назовем её $l$.
3. $AM$ — медиана к стороне $BC$, её длина равна $m_a$. Это означает, что точка $M$ является серединой отрезка $BC$, и расстояние от точки $A$ до точки $M$ равно $m_a$. Таким образом, точка $M$ лежит на окружности $\omega$ с центром в точке $A$ и радиусом $m_a$.
4. Теперь нам нужно связать положение точки $C$ и точки $M$. Точка $M$ является серединой отрезка $BC$. Это означает, что точку $C$ можно получить из точки $M$ гомотетией с центром в точке $B$ и коэффициентом $k=2$, так как $\vec{BC} = 2 \cdot \vec{BM}$.
5. Поскольку точка $M$ лежит на окружности $\omega$ (с центром $A$ и радиусом $m_a$), то её образ, точка $C$, должна лежать на образе этой окружности при указанной гомотетии. Образом окружности $\omega$ будет окружность $\omega'$.
- Центр новой окружности $\omega'$ — это точка $D$, которая является образом центра $A$ окружности $\omega$. Точка $D$ такова, что $\vec{BD} = 2 \cdot \vec{BA}$. Это значит, что точка $A$ является серединой отрезка $BD$.
- Радиус новой окружности $\omega'$ будет равен $R = |k| \cdot m_a = 2m_a$.
6. Итак, вершина $C$ искомого треугольника должна удовлетворять двум условиям: она лежит на прямой $l$ и на окружности $\omega'$ с центром в точке $D$ и радиусом $2m_a$. Точка $C$ является точкой пересечения этих двух геометрических мест точек.

Построение

1. Строим произвольную прямую и откладываем на ней отрезок $AB$, равный заданной стороне $c$.
2. Строим прямую $l$, параллельную прямой $AB$ и находящуюся на расстоянии $h_c$ от неё. (Для этого можно в любой точке на прямой $AB$, например в точке $A$, восстановить перпендикуляр, отложить на нём отрезок длиной $h_c$ и через его конец провести прямую, параллельную $AB$).
3. На продолжении отрезка $BA$ за точку $A$ откладываем отрезок $AD$, равный отрезку $AB$. Таким образом, точка $A$ становится серединой отрезка $DB$.
4. Из точки $D$ как из центра строим окружность $\omega'$ радиусом $R = 2m_a$. (Для этого нужно удвоить данный отрезок медианы).
5. Находим точки пересечения окружности $\omega'$ и прямой $l$. Каждая такая точка может быть вершиной $C$ искомого треугольника. Обозначим одну из них как $C$.
6. Соединяем точки $A, B, C$. Треугольник $ABC$ — искомый.

Доказательство

Проверим, что построенный треугольник $ABC$ удовлетворяет условиям задачи.
1. Сторона $AB$ равна $c$ по построению.
2. Высота, опущенная из вершины $C$ на прямую $AB$, равна $h_c$, так как точка $C$ лежит на прямой $l$, параллельной $AB$ и удалённой от неё на расстояние $h_c$.
3. Докажем, что медиана из вершины $A$ к стороне $BC$ равна $m_a$. Пусть $M$ — середина стороны $BC$. В треугольнике $DBC$ отрезок $AM$ соединяет середину стороны $DB$ (точка $A$ по построению) с серединой стороны $BC$ (точка $M$ по определению). Следовательно, $AM$ является средней линией треугольника $DBC$. По свойству средней линии, $AM = \frac{1}{2}DC$. По построению, точка $C$ лежит на окружности с центром $D$ и радиусом $2m_a$, значит, $DC = 2m_a$. Отсюда следует, что $AM = \frac{1}{2}(2m_a) = m_a$.
Таким образом, построенный треугольник $ABC$ является искомым.

Исследование

Задача имеет решение, если окружность $\omega'$ и прямая $l$ пересекаются. Это происходит тогда, когда расстояние от центра окружности $D$ до прямой $l$ не превышает её радиуса.
Расстояние от точки $D$ (которая лежит на прямой $AB$) до прямой $l$ (которая параллельна $AB$) равно $h_c$.
Радиус окружности $\omega'$ равен $2m_a$.
Следовательно, условие существования решения: $h_c \le 2m_a$.
- Если $h_c < 2m_a$, прямая $l$ пересекает окружность $\omega'$ в двух точках. Это даёт два различных (но симметричных относительно перпендикуляра к $AB$, проходящего через $D$) решения для вершины $C$ на одной стороне от прямой $AB$.
- Если $h_c = 2m_a$, прямая $l$ касается окружности $\omega'$, и существует только одна точка $C$, то есть одно решение.
- Если $h_c > 2m_a$, прямая и окружность не пересекаются, и решений нет.
(Примечание: если рассматривать и вторую прямую, параллельную $AB$, то количество решений удваивается, но получаемые треугольники будут симметричны исходным относительно прямой $AB$).

Ответ: План построения треугольника описан в разделе «Построение». Задача имеет решение при выполнении условия $2m_a \ge h_c$, где $m_a$ — длина медианы, а $h_c$ — длина высоты.

741. Биссектрисы $AD$ и $CE$ треугольника $ABC$ пересекаются в точке $O_1$,

биссектрисы $EF$ и $DK$ треугольника $DEB$ пересекаются в точке $O_2$.

Докажите, что точки $B$, $O_1$ и $O_2$ лежат на одной прямой.

742. На рисунке 380 $\angle A = 46^{\circ}$, $\angle ACB = 68^{\circ}$, $\angle DEC = 120^{\circ}$. Найдите углы треугольников EFC и DBE.

Рис. 380

DBE

1. Найдем угол $\angle ABC$ (он же $\angle DBE$) из треугольника $ABC$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$.
$\angle DBE = \angle ABC = 180^\circ - (\angle A + \angle ACB) = 180^\circ - (46^\circ + 68^\circ) = 180^\circ - 114^\circ = 66^\circ$.

2. Точки B, E, C лежат на одной прямой, поэтому углы $\angle DEB$ и $\angle DEC$ — смежные. Их сумма равна $180^\circ$.
$\angle DEB = 180^\circ - \angle DEC = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.

3. Найдем третий угол треугольника $DBE$ — $\angle BDE$, зная, что сумма углов треугольника равна $180^\circ$.
$\angle BDE = 180^\circ - (\angle DBE + \angle DEB) = 180^\circ - (66^\circ + 60^\circ) = 180^\circ - 126^\circ = 54^\circ$.

Ответ: $\angle DBE = 66^\circ, \angle DEB = 60^\circ, \angle BDE = 54^\circ$.

EFC

1. Точки A, C, F лежат на одной прямой, поэтому углы $\angle ACB$ и $\angle FCE$ — смежные. Их сумма равна $180^\circ$.
$\angle FCE = 180^\circ - \angle ACB = 180^\circ - 68^\circ = 112^\circ$.

2. Прямые BC и DF пересекаются в точке E. Углы $\angle FEC$ и $\angle DEB$ являются вертикальными, следовательно, они равны.
$\angle FEC = \angle DEB = 60^\circ$.

3. Найдем третий угол треугольника $EFC$ — $\angle EFC$, зная, что сумма углов треугольника равна $180^\circ$.
$\angle EFC = 180^\circ - (\angle FCE + \angle FEC) = 180^\circ - (112^\circ + 60^\circ) = 180^\circ - 172^\circ = 8^\circ$.

Ответ: $\angle FCE = 112^\circ, \angle FEC = 60^\circ, \angle EFC = 8^\circ$.

742. Через вершину данного угла проведите вне его прямую так, чтобы она образовала со сторонами этого угла равные углы.

743. Через середину $O$ стороны $MK$ треугольника $MKN$ провели прямую, перпендикулярную стороне $MK$ и пересекающую сторону $MN$ в точке $C$. Известно, что $MC = KN$, $\angle N = 50^\circ$. Найдите угол $\angle MCO$.

Рассмотрим треугольник $MKN$. По условию, точка $O$ является серединой стороны $MK$, а прямая $OC$ перпендикулярна стороне $MK$. Это означает, что прямая $OC$ является серединным перпендикуляром к отрезку $MK$.

По свойству серединного перпендикуляра, любая его точка равноудалена от концов отрезка. Так как точка $C$ лежит на серединном перпендикуляре к $MK$, то расстояния от точки $C$ до точек $M$ и $K$ равны, то есть $MC = KC$.

В условии задачи дано, что $MC = KN$. Сопоставив это равенство с полученным выше ($MC = KC$), мы можем заключить, что $KC = KN$.

Теперь рассмотрим треугольник $CKN$. Поскольку у него две стороны равны ($KC = KN$), он является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике углы, противолежащие равным сторонам, равны. Угол, лежащий напротив стороны $KN$, это $\angle KCN$. Угол, лежащий напротив стороны $KC$, это $\angle KNC$ (тот же, что и $\angle N$). Следовательно, $\angle KCN = \angle KNC$.

По условию $\angle N = 50^\circ$, значит $\angle KNC = 50^\circ$, и, следовательно, $\angle KCN = 50^\circ$.

Зная два угла в треугольнике $CKN$, мы можем найти третий угол $\angle CKN$, используя тот факт, что сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$:
$\angle CKN = 180^\circ - (\angle KCN + \angle KNC) = 180^\circ - (50^\circ + 50^\circ) = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ$.

Далее, вернемся к треугольнику $MCK$. Мы уже установили, что он равнобедренный ($MC = KC$) с основанием $MK$. Значит, углы при основании равны: $\angle CMK = \angle CKM$. Обозначим величину этих углов через $\alpha$.

Рассмотрим основной треугольник $MKN$. Сумма его углов равна $180^\circ$:
$\angle M + \angle N + \angle MKN = 180^\circ$.
Мы знаем, что $\angle M = \angle CMK = \alpha$, $\angle N = 50^\circ$, а угол $\angle MKN$ состоит из двух углов: $\angle MKN = \angle CKM + \angle CKN = \alpha + 80^\circ$.

Подставим эти значения в уравнение суммы углов треугольника $MKN$:
$\alpha + 50^\circ + (\alpha + 80^\circ) = 180^\circ$
$2\alpha + 130^\circ = 180^\circ$
$2\alpha = 180^\circ - 130^\circ$
$2\alpha = 50^\circ$
$\alpha = 25^\circ$.

Таким образом, мы нашли, что $\angle M = 25^\circ$.

Для нахождения искомого угла $\angle MCO$ рассмотрим прямоугольный треугольник $MOC$ (так как по условию $OC \perp MK$, то $\angle MOC = 90^\circ$). Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^\circ$.
$\angle MCO + \angle CMO = 90^\circ$
Угол $\angle CMO$ - это тот же угол, что и $\angle M$, то есть $\angle CMO = \alpha = 25^\circ$.
$\angle MCO + 25^\circ = 90^\circ$
$\angle MCO = 90^\circ - 25^\circ = 65^\circ$.

Ответ: $65^\circ$.

743. Через данную точку $A$, не принадлежащую данной прямой, проведите прямую, образующую с данной прямой данный угол.

744. В треугольнике $ABC$ из вершины прямого угла $C$ провели высоту $CH$ и биссектрису $CM$. Длина отрезка $HM$ в 2 раза меньше длины отрезка $CM$. Найдите острые углы треугольника $ABC$.

Пусть в прямоугольном треугольнике $ABC$ угол $\angle C = 90^\circ$. Из вершины этого угла проведены высота $CH$ (где $H$ — точка на гипотенузе $AB$) и биссектриса $CM$ (где $M$ — точка на гипотенузе $AB$).

Поскольку $CH$ — высота, опущенная на гипотенузу $AB$, то $\angle CHB = 90^\circ$. Следовательно, треугольник $CHM$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $H$. В этом треугольнике $CM$ — гипотенуза, а $CH$ и $HM$ — катеты.

Поскольку $CM$ — биссектриса прямого угла $C$, она делит его на два равных угла: $\angle ACM = \angle BCM = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ$.

По условию задачи, длина отрезка $HM$ в 2 раза меньше длины отрезка $CM$. Это можно записать как $CM = 2 \cdot HM$ или $\frac{HM}{CM} = \frac{1}{2}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $CHM$. Синус угла $\angle HCM$ определяется как отношение противолежащего катета $HM$ к гипотенузе $CM$: $\sin(\angle HCM) = \frac{HM}{CM}$.

Используя данное в условии соотношение, получаем: $\sin(\angle HCM) = \frac{1}{2}$.

Из этого следует, что величина угла $\angle HCM$ равна $30^\circ$, так как это острый угол в прямоугольном треугольнике. $\angle HCM = 30^\circ$.

Теперь найдем связь между углом $\angle HCM$ и острыми углами треугольника $ABC$. Пусть $\angle A$ — один из острых углов. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ACH$. Сумма его острых углов равна $90^\circ$, поэтому $\angle ACH = 90^\circ - \angle A$.

Угол $\angle HCM$ является частью угла $\angle ACM$ или $\angle ACH$. Его можно выразить как их разность: $\angle HCM = |\angle ACM - \angle ACH|$.

Подставим известные значения: $30^\circ = |45^\circ - (90^\circ - \angle A)|$ $30^\circ = |45^\circ - 90^\circ + \angle A|$ $30^\circ = |\angle A - 45^\circ|$.

Это уравнение с модулем имеет два решения:
1. $\angle A - 45^\circ = 30^\circ$, откуда $\angle A = 75^\circ$.
2. $\angle A - 45^\circ = -30^\circ$, откуда $\angle A = 15^\circ$.

Зная один острый угол, найдем второй, $\angle B$, из условия, что сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^\circ$ ($\angle A + \angle B = 90^\circ$).
- Если $\angle A = 75^\circ$, то $\angle B = 90^\circ - 75^\circ = 15^\circ$.
- Если $\angle A = 15^\circ$, то $\angle B = 90^\circ - 15^\circ = 75^\circ$.

Таким образом, острые углы треугольника $ABC$ равны $15^\circ$ и $75^\circ$.

Ответ: $15^\circ, 75^\circ$.

744. Решите кроссворд.

По горизонтали: 4. Прямые, которые не пересекаются. 5. Древнегреческий математик. 6. Сторона прямоугольного треугольника, противолежащая прямому углу. 8. Два угла, стороны одного из которых являются дополнительными лучами сторон другого. 10. Хорда, проходящая через центр окружности. 11. Отрезок, соединяющий точку окружности с её центром. 12. Геометрическое место точек, равноудалённых от данной точки. 13. Сторона прямоугольного треугольника, прилежащая к прямому углу. 14. Угол, смежный с углом треугольника. 15. Одна из частей, на которые произвольная точка разбивает прямую. 18. Утверждение, правильность которого принимают без доказательства. 22. Прямые, при пересечении которых образуются прямые углы. 23. Утверждение, правильность которого устанавливают с помощью доказательства. 24. Отрезок, соединяющий две точки окружности. 25. Угол, градусная мера которого больше $90^\circ$, но меньше $180^\circ$. 27. Перпендикуляр, проведённый из вершины треугольника к прямой, содержащей его противолежащую сторону. 28. Точка, равноудалённая от всех точек окружности. 29. Автор книги «Начала».

По вертикали: 1. Луч с началом в вершине угла, который делит угол на два равных угла. 2. Геометрическая фигура. 3. Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны. 7. Два угла, одна сторона которых общая, а две другие — дополнительные лучи. 9. Прямая, имеющая с окружностью одну общую точку. 12. Окружность, проходящая через все вершины треугольника. 16. Геометрическое место точек, расстояние от которых до данной точки не больше данного числа. 17. Угол, градусная мера которого равна $90^\circ$. 19. Угол, градусная мера которого меньше $90^\circ$. 20. Единица измерения углов. 21. Сумма длин всех сторон треугольника. 26. Геометрическая фигура.

745. На рисунке 381 $BD = DC$, $DN \perp BC$, $\angle BDM = \angle MDA$. Найдите сумму углов $MBN$ и $BMD$.

Рис. 381

Рассмотрим треугольник BDC. По условию, $BD = DC$, следовательно, треугольник BDC является равнобедренным с основанием BC. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому $\angle DBC = \angle DCB$.

Обозначим $ \angle DBC = \angle DCB = \gamma $.

Углы $ \angle BDA $ и $ \angle BDC $ являются смежными, так как точки A, D, C лежат на одной прямой. Следовательно, их сумма равна $180^\circ$: $ \angle BDA + \angle BDC = 180^\circ $.

В треугольнике BDC сумма углов равна $180^\circ$. Таким образом, $ \angle BDC = 180^\circ - (\angle DBC + \angle DCB) = 180^\circ - (\gamma + \gamma) = 180^\circ - 2\gamma $.

Теперь мы можем найти угол BDA: $ \angle BDA = 180^\circ - \angle BDC = 180^\circ - (180^\circ - 2\gamma) = 2\gamma $.

По условию, DM является биссектрисой угла BDA. Это означает, что DM делит угол BDA пополам: $ \angle BDM = \angle MDA = \frac{\angle BDA}{2} = \frac{2\gamma}{2} = \gamma $.

Далее рассмотрим треугольник BDM. Сумма углов в этом треугольнике равна $180^\circ$: $ \angle MBD + \angle BMD + \angle BDM = 180^\circ $.

Угол MBD совпадает с углом ABD. Обозначим $ \angle ABD = \delta $.

Подставим известные нам значения углов в выражение для суммы углов треугольника BDM: $ \delta + \angle BMD + \gamma = 180^\circ $.

Отсюда выразим угол BMD: $ \angle BMD = 180^\circ - \delta - \gamma $.

Нам необходимо найти сумму углов MBN и BMD. Угол MBN — это то же самое, что и угол ABC.

Угол ABC состоит из двух углов: $ \angle ABC = \angle ABD + \angle DBC $. Используя наши обозначения, получаем: $ \angle MBN = \delta + \gamma $.

Теперь найдем искомую сумму:

$ \angle MBN + \angle BMD = (\delta + \gamma) + (180^\circ - \delta - \gamma) = 180^\circ $.

Таким образом, сумма углов MBN и BMD равна $180^\circ$.

Примечание: Условие $ DN \perp BC $ означает, что DN — высота в треугольнике BDC. Так как треугольник BDC равнобедренный ($BD=DC$), его высота, проведенная к основанию, также является медианой и биссектрисой. Это условие согласуется с остальными данными задачи, но не является необходимым для нахождения искомой суммы углов.

Ответ: $180^\circ$.

746. Разрежьте фигуру, изображённую на рисунке 382, на три части, не являющиеся квадратами, так, чтобы из этих частей можно было сложить квадрат.

Рис. 382

Для решения этой задачи сначала определим площадь исходной фигуры. Фигура состоит из 12 единичных квадратов. Следовательно, квадрат, который нужно сложить, также должен иметь площадь 12 единиц. Сторона такого квадрата будет равна $a = \sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$ единиц. Поскольку сторона квадрата — иррациональное число, разрезы, скорее всего, не будут проходить исключительно по линиям сетки.

Решение

Фигуру необходимо разрезать на три части двумя разрезами. Разрезы представляют собой "ступеньки", проходящие через центр фигуры.

1. Первый разрез: Начинается от середины левого края фигуры, идет на 2 клетки вправо, а затем на 2 клетки вверх до середины верхнего края фигуры.
2. Второй разрез: Аналогичен первому, но симметричен относительно центра. Он начинается от середины правого края, идет на 2 клетки влево, а затем на 2 клетки вниз до середины нижнего края.

На рисунке ниже показана исходная фигура с линиями разреза (красные линии). В результате получаются три части: центральная Z-образная часть (2) и две одинаковые угловые части (1 и 3).

Ни одна из полученных частей не является квадратом. Теперь эти три части можно сложить, чтобы получить квадрат. Центральная часть (2) остается на месте, а две боковые части (1 и 3) перемещаются и поворачиваются, чтобы заполнить "пустоты" и образовать правильную форму.

• Часть 1 поворачивается на 90° по часовой стрелке и приставляется к правой стороне части 2.
• Часть 3 поворачивается на 90° против часовой стрелки и приставляется к левой стороне части 2.

На рисунке ниже показано, как из этих трех частей складывается квадрат.

В результате получается квадрат со стороной, равной высоте исходной фигуры (4 клетки), но он повернут. Площадь итогового квадрата равна 12, как и требовалось.

Ответ: Фигуру следует разрезать двумя ступенчатыми разрезами, как показано на первом рисунке. Затем полученные три части можно переложить, чтобы составить квадрат, как показано на втором рисунке.