Номер 737, страница 177 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

§ 24. Метод геометрических мест точек в задачах на построение. Глава 4. Окружность и круг. Геометрические построения - номер 737, страница 177.

737. Постройте треугольник по периметру и двум углам.

Задача построения треугольника по заданному периметру $P$ и двум углам $\alpha$ и $\beta$ решается в несколько этапов: анализ, построение, доказательство и исследование.

Анализ

Предположим, что искомый треугольник $ABC$ построен. Пусть его периметр равен $P$, а углы при основании $BC$ равны $\beta$ и $\alpha$ соответственно, то есть $\angle ABC = \beta$ и $\angle ACB = \alpha$.

Продолжим сторону $BC$ за точки $B$ и $C$. На продолжении отложим отрезок $BD$, равный стороне $AB$, и отрезок $CE$, равный стороне $AC$. В результате получим отрезок $DE$, длина которого равна $DB + BC + CE = AB + BC + AC = P$.

Рассмотрим треугольник $ADB$. Так как по построению $AB = DB$, этот треугольник является равнобедренным. Углы при его основании $AD$ равны: $\angle D = \angle DAB$. Угол $ABC$ является внешним для треугольника $ADB$ при вершине $B$. По свойству внешнего угла, $\angle ABC = \angle D + \angle DAB$. Поскольку $\angle ABC = \beta$ и $\angle D = \angle DAB$, получаем $2 \cdot \angle D = \beta$, откуда $\angle D = \beta/2$.

Аналогично, рассмотрим треугольник $AEC$. Так как $AC = CE$, он также равнобедренный. Углы при его основании $AE$ равны: $\angle E = \angle EAC$. Угол $ACB$ является внешним для треугольника $AEC$ при вершине $C$. Следовательно, $\angle ACB = \angle E + \angle EAC$. Поскольку $\angle ACB = \alpha$, получаем $2 \cdot \angle E = \alpha$, откуда $\angle E = \alpha/2$.

Таким образом, для построения искомого треугольника $ABC$ мы можем сначала построить вспомогательный треугольник $ADE$. Для него известна сторона $DE = P$ и два прилежащих к ней угла: $\angle D = \beta/2$ и $\angle E = \alpha/2$. Вершина $A$ находится как точка пересечения лучей, построенных из точек $D$ и $E$ под соответствующими углами.

Вершины $B$ и $C$ исходного треугольника лежат на отрезке $DE$. Так как $AB = DB$, точка $B$ равноудалена от $A$ и $D$, а значит, лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $AD$. Аналогично, так как $AC = CE$, точка $C$ лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $AE$.

На основе этого анализа можно составить план построения.

Построение

Пусть дан отрезок, равный периметру $P$, и два угла $\alpha$ и $\beta$.

1. Начертим прямую и отложим на ней отрезок $DE$ длиной $P$.
2. С помощью циркуля и линейки построим биссектрисы данных углов $\alpha$ и $\beta$, чтобы получить углы $\alpha/2$ и $\beta/2$.
3. От луча $DE$ в одной полуплоскости построим угол $\angle EDA'$, равный $\beta/2$.
4. От луча $ED$ в той же полуплоскости построим угол $\angle DEA'$, равный $\alpha/2$.
5. Точку пересечения лучей $DA'$ и $EA'$ обозначим как $A$.
6. Построим серединный перпендикуляр к отрезку $AD$. Точку его пересечения с отрезком $DE$ обозначим $B$.
7. Построим серединный перпендикуляр к отрезку $AE$. Точку его пересечения с отрезком $DE$ обозначим $C$.
8. Соединим точки $A$, $B$ и $C$. Треугольник $ABC$ — искомый.

Доказательство

Проверим, что построенный треугольник $ABC$ удовлетворяет условиям задачи.

1. Периметр. Периметр треугольника $ABC$ по определению равен $AB + BC + AC$.

По построению точка $B$ лежит на серединном перпендикуляре к $AD$, следовательно, $AB = DB$.

Точка $C$ лежит на серединном перпендикуляре к $AE$, следовательно, $AC = CE$.

Заменяя в формуле периметра $AB$ на $DB$ и $AC$ на $CE$, получаем: $P_{ABC} = DB + BC + CE$.

Поскольку точки $B$ и $C$ лежат на отрезке $DE$, сумма $DB + BC + CE$ равна длине отрезка $DE$. По построению $DE = P$. Таким образом, периметр треугольника $ABC$ равен $P$.

2. Углы.

В треугольнике $ADB$, поскольку $AB = DB$, он является равнобедренным. Значит, $\angle DAB = \angle D$. По построению, $\angle D = \beta/2$.

Угол $ABC$ — внешний угол треугольника $ADB$ при вершине $B$. Его величина равна сумме двух внутренних углов, не смежных с ним: $\angle ABC = \angle D + \angle DAB = \beta/2 + \beta/2 = \beta$.

Аналогично, в треугольнике $AEC$ стороны $AC = CE$, поэтому он равнобедренный. Значит, $\angle EAC = \angle E$. По построению, $\angle E = \alpha/2$.

Угол $ACB$ — внешний угол треугольника $AEC$ при вершине $C$. Его величина равна $\angle ACB = \angle E + \angle EAC = \alpha/2 + \alpha/2 = \alpha$.

Таким образом, построенный треугольник $ABC$ имеет периметр $P$ и углы, равные $\alpha$ и $\beta$.

Исследование

Задача имеет решение тогда и только тогда, когда сумма данных углов меньше $180^\circ$, то есть $\alpha + \beta < 180^\circ$.

Если это условие выполнено, то сумма углов $\angle D + \angle E = \alpha/2 + \beta/2 = (\alpha + \beta)/2 < 90^\circ$. Так как сумма двух углов в треугольнике $ADE$ меньше $180^\circ$, лучи $DA'$ и $EA'$ пересекутся, и вершина $A$ будет определена однозначно. Серединные перпендикуляры к $AD$ и $AE$ также определяются однозначно, а значит, и точки $B$ и $C$. При этом точки $B$ и $C$ будут лежать между $D$ и $E$.

Если $\alpha + \beta \ge 180^\circ$, то такой треугольник не существует, и построение выполнить невозможно.

При условии $\alpha + \beta < 180^\circ$ задача имеет единственное решение (с точностью до конгруэнтности).

Ответ: описан алгоритм построения треугольника по периметру и двум углам, приведено доказательство его корректности и исследованы условия существования решения.

737. Докажите, что хорда окружности, которая перпендикулярна другой хорде этой окружности и проходит через её середину, является диаметром данной окружности.