Номер 739, страница 177 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

§ 24. Метод геометрических мест точек в задачах на построение. Глава 4. Окружность и круг. Геометрические построения - номер 739, страница 177.

739. Постройте треугольник по высоте и медиане, проведённым из одной вершины, и радиусу описанной окружности.

Пусть искомый треугольник — это $\triangle ABC$, $AH$ — его высота, $AM$ — медиана, проведенные из вершины $A$, и $R$ — радиус описанной окружности. Нам даны длины $h_a = AH$, $m_a = AM$ и радиус $R$.

Анализ

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник $AHM$ (угол $H$ прямой). В этом треугольнике известны гипотенуза $AM = m_a$ и катет $AH = h_a$. Мы можем построить этот треугольник. Это позволит нам определить положение вершины $A$ и прямой, на которой лежит сторона $BC$ (это прямая, проходящая через точки $H$ и $M$).

2. Центр $O$ описанной окружности $\triangle ABC$ равноудален от всех его вершин. Следовательно, расстояние $OA$ равно радиусу $R$. Это означает, что точка $O$ лежит на окружности с центром в точке $A$ и радиусом $R$.

3. Также центр описанной окружности $O$ лежит на серединном перпендикуляре к стороне $BC$. Поскольку $M$ — середина $BC$, то серединный перпендикуляр к $BC$ — это прямая, проходящая через точку $M$ и перпендикулярная прямой $BC$.

4. Таким образом, положение центра $O$ можно найти как точку пересечения двух геометрических мест: окружности с центром $A$ и радиусом $R$ и прямой, перпендикулярной $HM$ в точке $M$.

5. После нахождения центра $O$ мы можем построить описанную окружность. Вершины $B$ и $C$ будут лежать на пересечении этой окружности с прямой, содержащей сторону $BC$.

Построение

1. Построим прямоугольный треугольник $AHM$ по катету $AH=h_a$ и гипотенузе $AM=m_a$. Для этого:

a. Проведем произвольную прямую $l$.

b. Выберем на ней точку $H$ и восставим из нее перпендикуляр к прямой $l$.

c. На перпендикуляре отложим отрезок $AH$, равный данной высоте $h_a$.

d. Построим окружность с центром в точке $A$ и радиусом, равным данной медиане $m_a$. Точка пересечения этой окружности с прямой $l$ будет точкой $M$.

2. Через точку $M$ проведем прямую $p$, перпендикулярную прямой $l$.

3. Построим окружность с центром в точке $A$ и радиусом $R$ (данный радиус описанной окружности). Точка (или точки) пересечения этой окружности с прямой $p$ является центром описанной окружности $O$.

4. Построим окружность с центром в найденной точке $O$ и радиусом $R$.

5. Точки пересечения этой окружности с прямой $l$ являются вершинами $B$ и $C$ искомого треугольника.

6. Соединим точки $A$, $B$ и $C$. Полученный треугольник $ABC$ — искомый.

Ответ: Треугольник $ABC$, построенный согласно приведенному алгоритму, является искомым.

Доказательство

По построению, $AH$ — перпендикуляр, опущенный из вершины $A$ на прямую $l$, содержащую сторону $BC$. Следовательно, $AH$ — высота треугольника $ABC$, и ее длина равна $h_a$.

По построению, точка $M$ лежит на прямой $l$. Центр $O$ окружности, проходящей через точки $B$ и $C$, лежит на прямой $p$, которая является перпендикуляром к $l$ в точке $M$. Следовательно, прямая $p$ — серединный перпендикуляр к отрезку $BC$, а $M$ — его середина. Таким образом, $AM$ — медиана треугольника $ABC$, и ее длина по построению равна $m_a$.

По построению, точки $A$, $B$ и $C$ лежат на окружности с центром $O$ и радиусом $R$. Следовательно, $R$ — радиус описанной окружности треугольника $ABC$.

Таким образом, построенный треугольник $ABC$ удовлетворяет всем условиям задачи.

Исследование

Задача имеет решение не при любых значениях $h_a, m_a$ и $R$.

1. Для построения прямоугольного треугольника $AHM$ (шаг 1) необходимо, чтобы гипотенуза была не меньше катета, то есть $m_a \ge h_a$. Если $m_a < h_a$, задача не имеет решений.

2. Для нахождения центра $O$ (шаг 3) необходимо, чтобы окружность с центром $A$ и радиусом $R$ пересекала прямую $p$. Расстояние от точки $A$ до прямой $p$ равно длине отрезка $HM$. Из треугольника $AHM$ по теореме Пифагора $HM = \sqrt{AM^2 - AH^2} = \sqrt{m_a^2 - h_a^2}$. Таким образом, для существования точки пересечения $O$ необходимо, чтобы $R \ge HM$, то есть $R \ge \sqrt{m_a^2 - h_a^2}$. Если это условие не выполнено, решений нет.

• Если $R > HM$, то существуют две точки $O_1$ и $O_2$, симметричные относительно прямой $AM$. Это может привести к двум различным (неконгруэнтным) решениям.

• Если $R = HM$, то существует только одна точка $O$, и задача может иметь не более одного решения.

3. Для нахождения вершин $B$ и $C$ (шаг 5) необходимо, чтобы построенная описанная окружность пересекала прямую $l$. Это условие ($OM \le R$) выполняется хотя бы для одного из возможных центров $O$, если выполнены предыдущие условия.

В зависимости от соотношений между $h_a, m_a$ и $R$ задача может не иметь решений, иметь одно решение или два различных решения.

739. В треугольнике $ABC$ $AB = BC$, точка $O$ – центр вписанной окружности, точки $D$ и $E$ – точки касания вписанной окружности со сторонами $AC$ и $AB$ соответственно, $\angle ABC = 48^\circ$. Найдите $\angle DOE$.