Номер 743, страница 177 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

§ 24. Метод геометрических мест точек в задачах на построение. Глава 4. Окружность и круг. Геометрические построения - номер 743, страница 177.

743. Через середину $O$ стороны $MK$ треугольника $MKN$ провели прямую, перпендикулярную стороне $MK$ и пересекающую сторону $MN$ в точке $C$. Известно, что $MC = KN$, $\angle N = 50^\circ$. Найдите угол $\angle MCO$.

Рассмотрим треугольник $MKN$. По условию, точка $O$ является серединой стороны $MK$, а прямая $OC$ перпендикулярна стороне $MK$. Это означает, что прямая $OC$ является серединным перпендикуляром к отрезку $MK$.

По свойству серединного перпендикуляра, любая его точка равноудалена от концов отрезка. Так как точка $C$ лежит на серединном перпендикуляре к $MK$, то расстояния от точки $C$ до точек $M$ и $K$ равны, то есть $MC = KC$.

В условии задачи дано, что $MC = KN$. Сопоставив это равенство с полученным выше ($MC = KC$), мы можем заключить, что $KC = KN$.

Теперь рассмотрим треугольник $CKN$. Поскольку у него две стороны равны ($KC = KN$), он является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике углы, противолежащие равным сторонам, равны. Угол, лежащий напротив стороны $KN$, это $\angle KCN$. Угол, лежащий напротив стороны $KC$, это $\angle KNC$ (тот же, что и $\angle N$). Следовательно, $\angle KCN = \angle KNC$.

По условию $\angle N = 50^\circ$, значит $\angle KNC = 50^\circ$, и, следовательно, $\angle KCN = 50^\circ$.

Зная два угла в треугольнике $CKN$, мы можем найти третий угол $\angle CKN$, используя тот факт, что сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$:
$\angle CKN = 180^\circ - (\angle KCN + \angle KNC) = 180^\circ - (50^\circ + 50^\circ) = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ$.

Далее, вернемся к треугольнику $MCK$. Мы уже установили, что он равнобедренный ($MC = KC$) с основанием $MK$. Значит, углы при основании равны: $\angle CMK = \angle CKM$. Обозначим величину этих углов через $\alpha$.

Рассмотрим основной треугольник $MKN$. Сумма его углов равна $180^\circ$:
$\angle M + \angle N + \angle MKN = 180^\circ$.
Мы знаем, что $\angle M = \angle CMK = \alpha$, $\angle N = 50^\circ$, а угол $\angle MKN$ состоит из двух углов: $\angle MKN = \angle CKM + \angle CKN = \alpha + 80^\circ$.

Подставим эти значения в уравнение суммы углов треугольника $MKN$:
$\alpha + 50^\circ + (\alpha + 80^\circ) = 180^\circ$
$2\alpha + 130^\circ = 180^\circ$
$2\alpha = 180^\circ - 130^\circ$
$2\alpha = 50^\circ$
$\alpha = 25^\circ$.

Таким образом, мы нашли, что $\angle M = 25^\circ$.

Для нахождения искомого угла $\angle MCO$ рассмотрим прямоугольный треугольник $MOC$ (так как по условию $OC \perp MK$, то $\angle MOC = 90^\circ$). Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^\circ$.
$\angle MCO + \angle CMO = 90^\circ$
Угол $\angle CMO$ - это тот же угол, что и $\angle M$, то есть $\angle CMO = \alpha = 25^\circ$.
$\angle MCO + 25^\circ = 90^\circ$
$\angle MCO = 90^\circ - 25^\circ = 65^\circ$.

Ответ: $65^\circ$.

743. Через данную точку $A$, не принадлежащую данной прямой, проведите прямую, образующую с данной прямой данный угол.