Номер 742, страница 177 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

§ 24. Метод геометрических мест точек в задачах на построение. Глава 4. Окружность и круг. Геометрические построения - номер 742, страница 177.

742. На рисунке 380 $\angle A = 46^{\circ}$, $\angle ACB = 68^{\circ}$, $\angle DEC = 120^{\circ}$. Найдите углы треугольников EFC и DBE.

Рис. 380

DBE

1. Найдем угол $\angle ABC$ (он же $\angle DBE$) из треугольника $ABC$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$.
$\angle DBE = \angle ABC = 180^\circ - (\angle A + \angle ACB) = 180^\circ - (46^\circ + 68^\circ) = 180^\circ - 114^\circ = 66^\circ$.

2. Точки B, E, C лежат на одной прямой, поэтому углы $\angle DEB$ и $\angle DEC$ — смежные. Их сумма равна $180^\circ$.
$\angle DEB = 180^\circ - \angle DEC = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.

3. Найдем третий угол треугольника $DBE$ — $\angle BDE$, зная, что сумма углов треугольника равна $180^\circ$.
$\angle BDE = 180^\circ - (\angle DBE + \angle DEB) = 180^\circ - (66^\circ + 60^\circ) = 180^\circ - 126^\circ = 54^\circ$.

Ответ: $\angle DBE = 66^\circ, \angle DEB = 60^\circ, \angle BDE = 54^\circ$.

EFC

1. Точки A, C, F лежат на одной прямой, поэтому углы $\angle ACB$ и $\angle FCE$ — смежные. Их сумма равна $180^\circ$.
$\angle FCE = 180^\circ - \angle ACB = 180^\circ - 68^\circ = 112^\circ$.

2. Прямые BC и DF пересекаются в точке E. Углы $\angle FEC$ и $\angle DEB$ являются вертикальными, следовательно, они равны.
$\angle FEC = \angle DEB = 60^\circ$.

3. Найдем третий угол треугольника $EFC$ — $\angle EFC$, зная, что сумма углов треугольника равна $180^\circ$.
$\angle EFC = 180^\circ - (\angle FCE + \angle FEC) = 180^\circ - (112^\circ + 60^\circ) = 180^\circ - 172^\circ = 8^\circ$.

Ответ: $\angle FCE = 112^\circ, \angle FEC = 60^\circ, \angle EFC = 8^\circ$.

742. Через вершину данного угла проведите вне его прямую так, чтобы она образовала со сторонами этого угла равные углы.