Номер 745, страница 177 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

§ 24. Метод геометрических мест точек в задачах на построение. Глава 4. Окружность и круг. Геометрические построения - номер 745, страница 177.

745. На рисунке 381 $BD = DC$, $DN \perp BC$, $\angle BDM = \angle MDA$. Найдите сумму углов $MBN$ и $BMD$.

Рис. 381

Рассмотрим треугольник BDC. По условию, $BD = DC$, следовательно, треугольник BDC является равнобедренным с основанием BC. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому $\angle DBC = \angle DCB$.

Обозначим $ \angle DBC = \angle DCB = \gamma $.

Углы $ \angle BDA $ и $ \angle BDC $ являются смежными, так как точки A, D, C лежат на одной прямой. Следовательно, их сумма равна $180^\circ$: $ \angle BDA + \angle BDC = 180^\circ $.

В треугольнике BDC сумма углов равна $180^\circ$. Таким образом, $ \angle BDC = 180^\circ - (\angle DBC + \angle DCB) = 180^\circ - (\gamma + \gamma) = 180^\circ - 2\gamma $.

Теперь мы можем найти угол BDA: $ \angle BDA = 180^\circ - \angle BDC = 180^\circ - (180^\circ - 2\gamma) = 2\gamma $.

По условию, DM является биссектрисой угла BDA. Это означает, что DM делит угол BDA пополам: $ \angle BDM = \angle MDA = \frac{\angle BDA}{2} = \frac{2\gamma}{2} = \gamma $.

Далее рассмотрим треугольник BDM. Сумма углов в этом треугольнике равна $180^\circ$: $ \angle MBD + \angle BMD + \angle BDM = 180^\circ $.

Угол MBD совпадает с углом ABD. Обозначим $ \angle ABD = \delta $.

Подставим известные нам значения углов в выражение для суммы углов треугольника BDM: $ \delta + \angle BMD + \gamma = 180^\circ $.

Отсюда выразим угол BMD: $ \angle BMD = 180^\circ - \delta - \gamma $.

Нам необходимо найти сумму углов MBN и BMD. Угол MBN — это то же самое, что и угол ABC.

Угол ABC состоит из двух углов: $ \angle ABC = \angle ABD + \angle DBC $. Используя наши обозначения, получаем: $ \angle MBN = \delta + \gamma $.

Теперь найдем искомую сумму:

$ \angle MBN + \angle BMD = (\delta + \gamma) + (180^\circ - \delta - \gamma) = 180^\circ $.

Таким образом, сумма углов MBN и BMD равна $180^\circ$.

Примечание: Условие $ DN \perp BC $ означает, что DN — высота в треугольнике BDC. Так как треугольник BDC равнобедренный ($BD=DC$), его высота, проведенная к основанию, также является медианой и биссектрисой. Это условие согласуется с остальными данными задачи, но не является необходимым для нахождения искомой суммы углов.

Ответ: $180^\circ$.