Номер 744, страница 177 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

§ 24. Метод геометрических мест точек в задачах на построение. Глава 4. Окружность и круг. Геометрические построения - номер 744, страница 177.

744. В треугольнике $ABC$ из вершины прямого угла $C$ провели высоту $CH$ и биссектрису $CM$. Длина отрезка $HM$ в 2 раза меньше длины отрезка $CM$. Найдите острые углы треугольника $ABC$.

Пусть в прямоугольном треугольнике $ABC$ угол $\angle C = 90^\circ$. Из вершины этого угла проведены высота $CH$ (где $H$ — точка на гипотенузе $AB$) и биссектриса $CM$ (где $M$ — точка на гипотенузе $AB$).

Поскольку $CH$ — высота, опущенная на гипотенузу $AB$, то $\angle CHB = 90^\circ$. Следовательно, треугольник $CHM$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $H$. В этом треугольнике $CM$ — гипотенуза, а $CH$ и $HM$ — катеты.

Поскольку $CM$ — биссектриса прямого угла $C$, она делит его на два равных угла: $\angle ACM = \angle BCM = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ$.

По условию задачи, длина отрезка $HM$ в 2 раза меньше длины отрезка $CM$. Это можно записать как $CM = 2 \cdot HM$ или $\frac{HM}{CM} = \frac{1}{2}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $CHM$. Синус угла $\angle HCM$ определяется как отношение противолежащего катета $HM$ к гипотенузе $CM$: $\sin(\angle HCM) = \frac{HM}{CM}$.

Используя данное в условии соотношение, получаем: $\sin(\angle HCM) = \frac{1}{2}$.

Из этого следует, что величина угла $\angle HCM$ равна $30^\circ$, так как это острый угол в прямоугольном треугольнике. $\angle HCM = 30^\circ$.

Теперь найдем связь между углом $\angle HCM$ и острыми углами треугольника $ABC$. Пусть $\angle A$ — один из острых углов. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ACH$. Сумма его острых углов равна $90^\circ$, поэтому $\angle ACH = 90^\circ - \angle A$.

Угол $\angle HCM$ является частью угла $\angle ACM$ или $\angle ACH$. Его можно выразить как их разность: $\angle HCM = |\angle ACM - \angle ACH|$.

Подставим известные значения: $30^\circ = |45^\circ - (90^\circ - \angle A)|$ $30^\circ = |45^\circ - 90^\circ + \angle A|$ $30^\circ = |\angle A - 45^\circ|$.

Это уравнение с модулем имеет два решения:
1. $\angle A - 45^\circ = 30^\circ$, откуда $\angle A = 75^\circ$.
2. $\angle A - 45^\circ = -30^\circ$, откуда $\angle A = 15^\circ$.

Зная один острый угол, найдем второй, $\angle B$, из условия, что сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^\circ$ ($\angle A + \angle B = 90^\circ$).
- Если $\angle A = 75^\circ$, то $\angle B = 90^\circ - 75^\circ = 15^\circ$.
- Если $\angle A = 15^\circ$, то $\angle B = 90^\circ - 15^\circ = 75^\circ$.

Таким образом, острые углы треугольника $ABC$ равны $15^\circ$ и $75^\circ$.

Ответ: $15^\circ, 75^\circ$.

744. Решите кроссворд.

По горизонтали: 4. Прямые, которые не пересекаются. 5. Древнегреческий математик. 6. Сторона прямоугольного треугольника, противолежащая прямому углу. 8. Два угла, стороны одного из которых являются дополнительными лучами сторон другого. 10. Хорда, проходящая через центр окружности. 11. Отрезок, соединяющий точку окружности с её центром. 12. Геометрическое место точек, равноудалённых от данной точки. 13. Сторона прямоугольного треугольника, прилежащая к прямому углу. 14. Угол, смежный с углом треугольника. 15. Одна из частей, на которые произвольная точка разбивает прямую. 18. Утверждение, правильность которого принимают без доказательства. 22. Прямые, при пересечении которых образуются прямые углы. 23. Утверждение, правильность которого устанавливают с помощью доказательства. 24. Отрезок, соединяющий две точки окружности. 25. Угол, градусная мера которого больше $90^\circ$, но меньше $180^\circ$. 27. Перпендикуляр, проведённый из вершины треугольника к прямой, содержащей его противолежащую сторону. 28. Точка, равноудалённая от всех точек окружности. 29. Автор книги «Начала».

По вертикали: 1. Луч с началом в вершине угла, который делит угол на два равных угла. 2. Геометрическая фигура. 3. Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны. 7. Два угла, одна сторона которых общая, а две другие — дополнительные лучи. 9. Прямая, имеющая с окружностью одну общую точку. 12. Окружность, проходящая через все вершины треугольника. 16. Геометрическое место точек, расстояние от которых до данной точки не больше данного числа. 17. Угол, градусная мера которого равна $90^\circ$. 19. Угол, градусная мера которого меньше $90^\circ$. 20. Единица измерения углов. 21. Сумма длин всех сторон треугольника. 26. Геометрическая фигура.