Номер 740, страница 177 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

§ 24. Метод геометрических мест точек в задачах на построение. Глава 4. Окружность и круг. Геометрические построения - номер 740, страница 177.

740. Постройте треугольник по двум сторонам и медиане, проведённой к третьей стороне.

Пусть даны отрезки, равные по длине двум сторонам треугольника $a$ и $b$, и медиане $m_c$, проведенной к третьей стороне. Задача состоит в построении треугольника $ABC$ с помощью циркуля и линейки так, чтобы $BC=a$, $AC=b$, а медиана $CM$ к стороне $AB$ имела длину $m_c$.

Анализ

Предположим, что искомый треугольник $ABC$ уже построен. Пусть $M$ — середина стороны $AB$. Тогда $CM$ — медиана, и по условию $CM = m_c$. Продлим медиану $CM$ за точку $M$ на ее длину до точки $D$, так что $MD = CM$. Таким образом, длина отрезка $CD$ равна $2m_c$.

Рассмотрим четырехугольник $ADBC$. Его диагонали $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $M$. По определению медианы, $AM = MB$. По нашему построению, $CM = MD$. Поскольку диагонали четырехугольника $ADBC$ в точке пересечения делятся пополам, этот четырехугольник является параллелограммом.

Основное свойство параллелограмма — равенство противолежащих сторон. Следовательно, $AD = BC = a$ и $BD = AC = b$.

Это сводит нашу задачу к построению вспомогательного треугольника $ACD$. Все три стороны этого треугольника нам известны: $AC = b$, $AD = a$ и $CD = 2m_c$. Построив треугольник $ACD$ по трем сторонам, мы сможем найти искомую вершину $B$.

Построение

1. На произвольной прямой откладываем отрезок $CD$, длина которого равна удвоенной длине медианы, то есть $2m_c$.
2. Из точки $C$ как из центра проводим дугу окружности радиусом, равным длине стороны $b$.
3. Из точки $D$ как из центра проводим дугу окружности радиусом, равным длине стороны $a$.
4. Точку пересечения этих двух дуг обозначаем буквой $A$. Соединяем точки $A$, $C$ и $D$, получая треугольник $ACD$. (Если дуги не пересекаются, задача не имеет решения).
5. Находим середину отрезка $CD$, точку $M$. Это можно сделать, построив серединный перпендикуляр к $CD$.
6. Проводим прямую через точки $A$ и $M$.
7. На этой прямой от точки $M$ откладываем отрезок $MB$, равный отрезку $AM$, так, чтобы точка $M$ находилась между $A$ и $B$.
8. Соединяем точку $B$ с точками $A$ и $C$. Полученный треугольник $ABC$ является искомым.

Доказательство

В построенном треугольнике $ABC$ сторона $AC$ по построению равна $b$. Рассмотрим четырехугольник $ADBC$. По построению, его диагонали $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $M$, причем $AM=MB$ и $CM=MD$. Следовательно, $ADBC$ — параллелограмм. Из этого следует, что $BC = AD$. Так как при построении треугольника $ACD$ мы откладывали $AD = a$, то и $BC = a$. Отрезок $CM$ соединяет вершину $C$ с серединой противолежащей стороны $AB$, значит, $CM$ — медиана треугольника $ABC$. По построению, $CD = 2m_c$ и $M$ — середина $CD$, следовательно, длина медианы $CM$ равна $m_c$. Таким образом, построенный треугольник $ABC$ удовлетворяет всем условиям задачи.

Исследование

Построение возможно тогда и только тогда, когда возможно построение вспомогательного треугольника $ACD$ со сторонами $a$, $b$ и $2m_c$. Для этого необходимо, чтобы для этих трех длин выполнялось неравенство треугольника:

• $a + b > 2m_c$
• $a + 2m_c > b$
• $b + 2m_c > a$

Если эти условия соблюдены, дуги в пункте 4 построения пересекутся, и задача будет иметь единственное решение (с точностью до конгруэнтности, так как выбор второй точки пересечения дуг даст треугольник, симметричный первому). Если $a + b \le 2m_c$ или одно из двух других неравенств не выполняется, то построить треугольник $ACD$ и, следовательно, искомый треугольник $ABC$ невозможно.
Ответ: искомый треугольник может быть построен по описанному алгоритму, если длины сторон $a$, $b$ и удвоенной медианы $2m_c$ удовлетворяют неравенству треугольника.

740. Окружность, вписанная в треугольник $ABC$, касается его сторон $AB$, $BC$ и $AC$ в точках $K$, $M$ и $E$ соответственно, $AK = BM = CE$. Докажите, что треугольник $ABC$ – равносторонний.