Номер 735, страница 176 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

§ 24. Метод геометрических мест точек в задачах на построение. Глава 4. Окружность и круг. Геометрические построения - номер 735, страница 176.

735. Постройте треугольник по стороне, противолежащему ей углу и сумме двух других сторон.

Пусть искомый треугольник $ABC$ построен. В нем $BC = a$, $\angle BAC = \alpha$ и $AB + AC = s$.

Анализ

На продолжении стороны $BA$ за вершину $A$ отложим отрезок $AD$, равный стороне $AC$. Тогда точка $A$ лежит на отрезке $BD$, и $BD = BA + AD = BA + AC = s$.
Рассмотрим треугольник $ADC$. Так как $AD = AC$, то он является равнобедренным. Следовательно, углы при основании $DC$ равны: $\angle ADC = \angle ACD$.
Угол $\angle BAC$ является внешним углом треугольника $ADC$ при вершине $A$. По свойству внешнего угла треугольника, он равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним: $\angle BAC = \angle ADC + \angle ACD$.
Поскольку $\angle ADC = \angle ACD$ и $\angle BAC = \alpha$, получаем $\alpha = 2 \angle ADC$, откуда $\angle ADC = \frac{\alpha}{2}$.
Таким образом, задача сводится к построению треугольника $BDC$ по двум сторонам $BD = s$, $BC = a$ и углу $\angle BDC = \frac{\alpha}{2}$, противолежащему стороне $BC$. После построения этого треугольника, вершина $A$ искомого треугольника $ABC$ будет найдена как точка пересечения стороны $BD$ и серединного перпендикуляра к стороне $DC$. Точка $A$ будет равноудалена от точек $D$ и $C$ ($AD=AC$), что и требуется.

Построение

1. Построить угол, равный $\frac{\alpha}{2}$. Для этого нужно построить биссектрису данного угла $\alpha$.
2. Провести произвольную прямую и отметить на ней точку $D$.
3. От точки $D$ на прямой отложить отрезок $DB$, равный данной сумме сторон $s$.
4. От луча $DB$ в одной полуплоскости построить угол $\angle BDM$, равный $\frac{\alpha}{2}$.
5. Построить окружность с центром в точке $B$ и радиусом, равным данной стороне $a$.
6. Найти точку $C$ пересечения этой окружности и луча $DM$. (Предполагаем, что такое пересечение существует). Соединить точки $B$ и $C$. Мы получили треугольник $BDC$.
7. Построить серединный перпендикуляр к отрезку $DC$.
8. Найти точку $A$ пересечения серединного перпендикуляра со стороной $BD$.
9. Соединить точки $A$ и $C$. Треугольник $ABC$ — искомый.

Доказательство

Рассмотрим построенный треугольник $ABC$.
1. По построению (шаг 5 и 6), сторона $BC = a$, так как $C$ лежит на окружности с центром $B$ и радиусом $a$.
2. Точка $A$ лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $DC$ (шаг 7 и 8). Следовательно, она равноудалена от концов отрезка, то есть $AD = AC$. Точка $A$ лежит на отрезке $BD$, поэтому $AB + AD = BD$. Заменяя $AD$ на $AC$, получаем $AB + AC = BD$. По построению (шаг 3), $BD = s$. Значит, $AB + AC = s$.
3. В треугольнике $ADC$, так как $AD=AC$, он равнобедренный. Углы при основании $DC$ равны, то есть $\angle ADC = \angle ACD$. Угол $\angle BAC$ является внешним для треугольника $ADC$ при вершине $A$. Поэтому $\angle BAC = \angle ADC + \angle ACD = 2\angle ADC$. По построению (шаг 4), $\angle ADC = \angle BDC = \frac{\alpha}{2}$. Следовательно, $\angle BAC = 2 \cdot \frac{\alpha}{2} = \alpha$.
Таким образом, построенный треугольник $ABC$ удовлетворяет всем условиям задачи.

Исследование

Задача имеет решение не при любых исходных данных. Решение определяется возможностью построения треугольника $BDC$ на шаге 6.
Для того чтобы окружность с центром $B$ и радиусом $a$ пересекла луч $DM$, необходимо, чтобы расстояние от точки $B$ до прямой $DM$ было не больше радиуса $a$.
Опустим перпендикуляр $BH$ из точки $B$ на прямую $DM$. В прямоугольном треугольнике $BHD$ имеем $BH = BD \cdot \sin(\angle BDC) = s \cdot \sin(\frac{\alpha}{2})$.
Условие существования решения: $a \ge BH$, то есть $a \ge s \cdot \sin(\frac{\alpha}{2})$.
Если $a < s \cdot \sin(\frac{\alpha}{2})$, то задача решений не имеет.
Рассмотрим возможные случаи, когда $a \ge s \cdot \sin(\frac{\alpha}{2})$:

• Если $a = s \cdot \sin(\frac{\alpha}{2})$, то точка $C$ является основанием перпендикуляра $BH$, и существует только одна такая точка. Задача имеет одно решение.
• Если $a \ge s$, то окружность пересечет луч $DM$ только в одной точке. Вторая точка пересечения окружности и прямой $DM$ будет лежать на луче, дополнительном к $DM$, что не даст решения. Задача имеет одно решение. (Заметим, что если $a \ge s$, то условие $a > s \cdot \sin(\frac{\alpha}{2})$ выполняется автоматически, так как $\sin(\frac{\alpha}{2}) < 1$ для невырожденного треугольника).
• Если $s \cdot \sin(\frac{\alpha}{2}) < a < s$, то окружность с центром $B$ и радиусом $a$ пересечет луч $DM$ в двух точках ($C_1$ и $C_2$). Каждому из двух возможных треугольников ($BDC_1$ и $BDC_2$) будет соответствовать свой искомый треугольник $ABC$. В этом случае задача имеет два решения.

Ответ: Построение приведено выше. Задача может не иметь решений, если $a < s \cdot \sin(\frac{\alpha}{2})$. Задача имеет одно решение, если $a = s \cdot \sin(\frac{\alpha}{2})$ или если $a \ge s$. Задача имеет два решения, если $s \cdot \sin(\frac{\alpha}{2}) < a < s$.

735. Окружность, центр которой принадлежит биссектрисе угла, пересекает каждую из его сторон в двух точках. Докажите, что отрезки, которые отсекает окружность на сторонах угла, равны.