Номер 730, страница 176 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

§ 24. Метод геометрических мест точек в задачах на построение. Глава 4. Окружность и круг. Геометрические построения - номер 730, страница 176.

730. Постройте прямоугольный треугольник по катету и разности гипотенузы и другого катета.

Пусть нам даны два отрезка: катет a и разность гипотенузы и другого катета d. Требуется построить прямоугольный треугольник ABC, в котором ∠C = 90°, один катет (например, AC) равен a, а разность гипотенузы AB и другого катета BC равна d.

Анализ

Предположим, что искомый прямоугольный треугольник ABC построен. В нём ∠C = 90°, AC = a и AB - BC = d.

Из условия AB - BC = d следует, что AB = BC + d.

Продолжим катет BC за точку C и отложим на этом продолжении отрезок CD, равный d. Тогда длина отрезка BD будет равна BC + CD = BC + d.

Таким образом, мы получаем, что AB = BD. Это означает, что треугольник ABD является равнобедренным с основанием AD. В равнобедренном треугольнике вершина B равноудалена от концов основания, а значит, лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AD.

Кроме того, точка B должна лежать на прямой, содержащей катет BC, то есть на прямой, проходящей через точку C перпендикулярно AC.

Следовательно, вершина B является точкой пересечения серединного перпендикуляра к отрезку AD и прямой CD. Это соображение позволяет выполнить построение.

Построение

1. Построим прямой угол с вершиной в точке C. Для этого проведём прямую n и в произвольной точке C на ней восстановим перпендикуляр m.
2. На луче m отложим отрезок AC, равный данному катету a.
3. На прямой n отложим от точки C отрезок CD, равный данной разности d.
4. Соединим точки A и D отрезком.
5. Построим серединный перпендикуляр к отрезку AD.
6. Точка пересечения серединного перпендикуляра с прямой n (прямой CD) и будет искомой вершиной B.
7. Соединим точки A и B. Треугольник ABC — искомый.

Доказательство

Рассмотрим построенный треугольник ABC.

• По построению, AC ⊥ BC, следовательно, ∠C = 90°.
• Катет AC равен данному отрезку a по построению.
• Точка B лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AD. По свойству серединного перпендикуляра, любая его точка равноудалена от концов отрезка, поэтому AB = DB.
• Точки B, C, D лежат на одной прямой n. Из построения следует, что точка C находится между B и D (при условии a > d, см. Исследование). Значит, DB = BC + CD.
• Так как по построению CD = d, то DB = BC + d.
• Из равенств AB = DB и DB = BC + d следует, что AB = BC + d, или AB - BC = d.

Таким образом, построенный треугольник ABC удовлетворяет всем условиям задачи.

Исследование

Задача имеет решение, если построение выполнимо и приводит к невырожденному треугольнику. Точка B, как точка пересечения двух непараллельных прямых (прямой CD и серединного перпендикуляра к AD), всегда существует и единственна.

Однако для того, чтобы полученный треугольник соответствовал условию AB - BC = d, длина катета BC должна быть положительной. Выразим длину BC через данные величины.

В прямоугольном треугольнике ABC по теореме Пифагора: AB² = AC² + BC².

Мы знаем, что AB = BC + d. Подставим это в уравнение: (BC + d)² = a² + BC² BC² + 2 ⋅ BC ⋅ d + d² = a² + BC² 2 ⋅ BC ⋅ d = a² - d² BC = \frac{a^2 - d^2}{2d}

Поскольку длина отрезка BC должна быть положительной (BC > 0), а d по определению также положительно, необходимо, чтобы числитель был положителен: a² - d² > 0 a² > d² Так как a и d — длины отрезков, они положительны, поэтому a > d.

Если a = d, то BC = 0, и треугольник вырождается в отрезок.

Если a < d, то величина BC получается отрицательной, что невозможно в рамках нашей геометрии. Это соответствует случаю, когда точка B оказывается между C и D, и тогда выполняется условие AB + BC = d, что является решением другой задачи.

Следовательно, задача имеет единственное решение при условии, что данный катет a больше данной разности d.

Ответ: Построение описано выше. Задача имеет единственное решение, если длина данного катета больше, чем данная разность длин гипотенузы и другого катета (a > d).

730. Диаметр $\overline{AB}$ делит каждую из хорд $\overline{MN}$ и $\overline{PK}$, отличных от диаметра, пополам. Докажите, что $\overline{MN} \parallel \overline{PK}$.