Номер 732, страница 176 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

§ 24. Метод геометрических мест точек в задачах на построение. Глава 4. Окружность и круг. Геометрические построения - номер 732, страница 176.

732. Постройте треугольник по стороне, прилежащему к ней углу и сумме двух других сторон.

Анализ

Пусть искомый треугольник $ABC$ построен. В нем известны сторона $AB=c$, угол $\angle A = \alpha$ и сумма двух других сторон $AC + BC = s$.

Отложим на луче $AC$ отрезок $AD$, равный сумме сторон $s$. То есть, $AD = AC + BC = s$.

Поскольку точка $C$ лежит на отрезке $AD$, то $AD = AC + CD$. Сравнивая два равенства, получаем, что $CD = BC$.

Это означает, что треугольник $CDB$ является равнобедренным с основанием $DB$. В равнобедренном треугольнике точка $C$ равноудалена от вершин $D$ и $B$. Геометрическим местом точек, равноудаленных от двух данных точек, является серединный перпендикуляр к отрезку, соединяющему эти точки.

Таким образом, точка $C$ лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $DB$.

Теперь рассмотрим треугольник $ADB$. В нем нам известны две стороны ($AB=c$, $AD=s$) и угол между ними ($\angle A = \alpha$). Такой треугольник можно построить. Построив его, мы найдем положение точек $A$, $D$, $B$. Точка $C$ будет лежать на пересечении стороны $AD$ и серединного перпендикуляра к стороне $DB$. Это определяет план построения.

Ответ: Анализ показывает, что задача сводится к построению вспомогательного треугольника $ADB$ по двум сторонам и углу между ними, а затем нахождению вершины $C$ как точки пересечения стороны $AD$ и серединного перпендикуляра к отрезку $DB$.

Построение

1. Строим угол, равный данному углу $\alpha$, с вершиной в точке $A$.
2. На одной стороне угла от точки $A$ откладываем отрезок $AB$, равный данной стороне $c$.
3. На другой стороне угла от точки $A$ откладываем отрезок $AD$, равный данной сумме сторон $s$.
4. Соединяем точки $D$ и $B$ отрезком.
5. Строим серединный перпендикуляр к отрезку $DB$. Для этого проводим две окружности с центрами в точках $D$ и $B$ и одинаковым радиусом (большим половины длины $DB$). Через точки пересечения этих окружностей проводим прямую.
6. Точка пересечения серединного перпендикуляра и отрезка $AD$ является искомой вершиной $C$.
7. Соединяем точки $B$ и $C$.

Треугольник $ABC$ — искомый.

Ответ: Треугольник $ABC$ построен в соответствии с описанными шагами.

Доказательство

В построенном треугольнике $ABC$ сторона $AB=c$ и угол $\angle BAC = \alpha$ по построению. Необходимо доказать, что сумма сторон $AC + BC$ равна $s$.

Точка $C$ лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $DB$. По свойству серединного перпендикуляра, любая его точка равноудалена от концов отрезка, следовательно, $CB = CD$.

Точка $C$ также лежит на отрезке $AD$. Поэтому $AD = AC + CD$.

Заменяя в этом равенстве $CD$ на равный ему отрезок $CB$, получаем $AD = AC + CB$.

По построению, длина отрезка $AD$ равна $s$.

Следовательно, $AC + BC = s$.

Таким образом, построенный треугольник $ABC$ удовлетворяет всем условиям задачи.

Ответ: Доказано, что построенный треугольник $ABC$ является искомым.

Исследование

Задача имеет решение не при любых заданных $c$, $\alpha$ и $s$.

1. Построение треугольника $ADB$ по двум сторонам $c, s$ и углу $\alpha$ между ними всегда возможно, если $\alpha < 180^\circ$.

2. Для того чтобы полученная фигура $ABC$ была треугольником, должны выполняться неравенства треугольника. Главное из них: $AC + BC > AB$. Так как по условию $AC + BC = s$ и $AB = c$, то должно выполняться условие $s > c$.

Если $s \le c$, то сумма двух сторон не будет больше третьей, и треугольник построить невозможно. Геометрически, если $s > c$, то в треугольнике $ADB$ сторона $AD$ будет больше стороны $AB$, а значит, и противолежащий угол $\angle ABD$ будет больше угла $\angle ADB$. Это гарантирует, что серединный перпендикуляр к $DB$ пересечет отрезок $AD$ во внутренней точке $C$, а не в точке $A$ или вне отрезка.

Таким образом, задача имеет единственное решение, если $s > c$ и $0 < \alpha < 180^\circ$.

Ответ: Задача имеет единственное решение при выполнении условия $s > c$.

732. Через точку $A$ к окружности с центром $O$ проведены касательные $AM$ и $AK$, $M$ и $K$ — точки касания. Точка пересечения отрезка $OA$ с окружностью является серединой этого отрезка. Найдите $\angle MAK$.