Номер 729, страница 176 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

§ 24. Метод геометрических мест точек в задачах на построение. Глава 4. Окружность и круг. Геометрические построения - номер 729, страница 176.

729. Постройте прямоугольный треугольник по гипотенузе и разности катетов.

Анализ

Пусть искомый прямоугольный треугольник $ABC$ построен. В нём $∠C = 90°$, гипотенуза $AB=c$, катеты $AC=b$ и $BC=a$. Пусть, для определённости, $a > b$. По условию, нам дана гипотенуза $c$ и разность катетов $a-b=d$.

Отложим на большем катете $BC$ отрезок $CD$, равный меньшему катету $AC$. То есть, $CD=b$. Так как $a>b$, точка $D$ окажется между точками $B$ и $C$. Длина отрезка $BD$ будет равна $BC - CD = a - b = d$.

Рассмотрим треугольник $ACD$. В нём $AC = CD = b$ и $∠ACD = 90°$. Следовательно, треугольник $ACD$ является равнобедренным прямоугольным треугольником.

Углы при его основании $AD$ равны по $45°$, то есть $∠CAD = ∠ADC = 45°$.

Теперь рассмотрим треугольник $ABD$. В нём нам известны две стороны: $AB=c$ и $BD=d$. Также мы можем определить угол $∠BDA$. Углы $∠BDA$ и $∠CDA$ являются смежными, так как точки $B$, $D$, $C$ лежат на одной прямой.

Следовательно, $∠BDA = 180° - ∠CDA = 180° - 45° = 135°$.

Таким образом, задача сводится к построению вспомогательного треугольника $ABD$ по двум сторонам ($c$ и $d$) и углу $∠BDA=135°$. После того как треугольник $ABD$ будет построен, мы сможем найти вершину $C$. Вершина $C$ лежит на прямой, проходящей через точки $B$ и $D$, и при этом $AC$ должна быть перпендикулярна этой прямой. Это означает, что $C$ является основанием перпендикуляра, опущенного из точки $A$ на прямую $BD$.

Ответ: Анализ показывает, что решение задачи сводится к построению вспомогательного треугольника $ABD$ по стороне $AB=c$, стороне $BD=d$ и углу $∠BDA=135°$, с последующим нахождением вершины $C$ путем опускания перпендикуляра из $A$ на прямую $BD$.

Построение

Пусть даны два отрезка: $c$ (гипотенуза) и $d$ (разность катетов).

1. Проведём произвольную прямую $p$.
2. Отметим на ней произвольную точку $D$.
3. Построим луч $m$, исходящий из точки $D$ и образующий с одним из направлений прямой $p$ угол в $135°$.
4. На прямой $p$ отложим от точки $D$ отрезок $DB=d$ так, чтобы угол между лучом $DB$ и лучом $m$ был равен $135°$.
5. С центром в точке $B$ проведём окружность радиусом, равным отрезку $c$.
6. Эта окружность пересечёт луч $m$ в точке $A$. (Задача всегда имеет единственное решение, так как для любого прямоугольного треугольника гипотенуза $c$ больше разности катетов $d$).
7. Из точки $A$ опустим перпендикуляр на прямую $p$. Точку пересечения перпендикуляра с прямой $p$ обозначим $C$.
8. Соединим точки $A$, $B$ и $C$. Треугольник $ABC$ является искомым.

Ответ: Описанная последовательность из восьми шагов позволяет построить требуемый прямоугольный треугольник с помощью циркуля и линейки.

Доказательство

Проверим, что построенный треугольник $ABC$ удовлетворяет всем условиям задачи.

1. По построению (шаг 7), $AC ⟂ BC$, следовательно, $∠C=90°$. Треугольник $ABC$ — прямоугольный.
2. По построению (шаг 5), гипотенуза $AB$ равна $c$.
3. Осталось доказать, что разность катетов $BC - AC$ равна $d$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ACD$, образованный катетом $AC$ и отрезками $CD$ и $AD$.
4. Точки $B$, $D$, $C$ лежат на одной прямой $p$. По построению, $∠BDA = 135°$. Угол $∠ADC$ является смежным с углом $∠BDA$, поэтому $∠ADC = 180° - ∠BDA = 180° - 135° = 45°$.
5. В прямоугольном треугольнике $ACD$ (так как $AC ⟂ DC$) один острый угол $∠ADC = 45°$, значит, и второй острый угол $∠CAD = 90° - 45° = 45°$.
6. Следовательно, треугольник $ACD$ — равнобедренный, и его катеты равны: $AC = CD$.
7. Поскольку угол $∠BDA$ тупой, основание перпендикуляра $C$, опущенного из $A$ на прямую $BD$, лежит на продолжении отрезка $BD$ за точку $D$. Таким образом, точка $D$ находится между $B$ и $C$.
8. Длина катета $BC$ равна сумме длин отрезков $BD$ и $DC$: $BC = BD + DC$.
9. По построению $BD = d$, а из пункта 6 мы доказали, что $DC = AC$. Подставив эти значения, получаем $BC = d + AC$.
10. Из последнего равенства следует, что $BC - AC = d$.

Все условия задачи выполнены, следовательно, построение верно.

Ответ: Построенный треугольник $ABC$ является прямоугольным с гипотенузой $c$ и разностью катетов, равной $d$, что и требовалось доказать.

729. Докажите, что касательные к окружности, проведённые через концы диаметра, параллельны.