Номер 728, страница 176 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

§ 24. Метод геометрических мест точек в задачах на построение. Глава 4. Окружность и круг. Геометрические построения - номер 728, страница 176.

728. Постройте прямоугольный треугольник по гипотенузе и сумме катетов.

Для решения задачи построим вспомогательный треугольник, из которого затем получим искомый прямоугольный треугольник. Пусть нам даны два отрезка: c, равный гипотенузе, и s, равный сумме катетов.

Анализ

Предположим, что искомый прямоугольный треугольник ABC с прямым углом при вершине C построен. Пусть его катеты AC и BC, а гипотенуза AB. По условию, $AB = c$ и $AC + BC = s$.

На продолжении катета AC за точку C отложим отрезок CD, равный катету BC. Тогда длина отрезка AD будет равна $AC + CD = AC + BC = s$.

Рассмотрим треугольник BCD. Так как ACD — прямая, а $∠ACB = 90°$, то и $∠BCD = 90°$. Кроме того, по построению $CD = BC$. Следовательно, треугольник BCD является равнобедренным прямоугольным треугольником. Углы при его основании BD равны, и каждый из них составляет $(180° - 90°) / 2 = 45°$. В частности, $∠ADB = 45°$.

Теперь рассмотрим треугольник ABD. В нем нам известны две стороны ($AD = s$ и $AB = c$) и угол, противолежащий стороне AB ($∠ADB = 45°$). Такой треугольник можно построить. Построив его, мы найдем вершину B. Вершина C искомого треугольника будет лежать на отрезке AD, причем BC должно быть перпендикулярно AD. Таким образом, точка C — это основание перпендикуляра, опущенного из точки B на прямую AD.

На основе этого анализа можно сформулировать план построения.

Построение

1. Начертить произвольную прямую и отметить на ней точку A.
2. От точки A отложить на прямой отрезок AD, длина которого равна данной сумме катетов s.
3. В точке D построить луч DK, образующий с отрезком DA угол в $45°$. Для этого можно построить перпендикуляр к прямой AD в точке D и провести биссектрису прямого угла.
4. Построить окружность с центром в точке A и радиусом, равным данной гипотенузе c.
5. Точка пересечения этой окружности и луча DK будет вершиной B искомого треугольника.
6. Из точки B опустить перпендикуляр BC на прямую AD. Точка C — третья вершина треугольника.
7. Соединить точки A, B и C. Треугольник ABC — искомый.

Доказательство

Докажем, что построенный треугольник ABC удовлетворяет условиям задачи.

По построению, $BC ⊥ AD$, следовательно, $∠ACB = 90°$. Значит, треугольник ABC — прямоугольный.

Гипотенуза AB является радиусом окружности с центром A, поэтому ее длина равна c.

Рассмотрим треугольник BCD. В нем $∠BCD = 90°$ (так как $BC ⊥ AD$) и $∠BDC = 45°$ (по построению). Сумма углов в треугольнике равна $180°$, поэтому $∠CBD = 180° - 90° - 45° = 45°$. Так как углы при основании BD равны, треугольник BCD является равнобедренным, и, следовательно, $BC = CD$.

Найдем сумму катетов треугольника ABC: $AC + BC$. Поскольку $BC = CD$, эта сумма равна $AC + CD$. Точка C лежит на отрезке AD, поэтому $AC + CD = AD$. По построению, длина отрезка AD равна s. Таким образом, $AC + BC = s$.

Итак, построенный треугольник ABC является прямоугольным, его гипотенуза равна c, а сумма катетов равна s, что и требовалось.

Исследование

Задача имеет решение, если окружность с центром A и радиусом c пересекает луч DK. Это возможно при определенных соотношениях между s и c.

Расстояние от точки A до прямой, содержащей луч DK, равно $h = AD \cdot \sin(45°) = s \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{s}{\sqrt{2}}$. Для того чтобы пересечение существовало, радиус окружности c должен быть не меньше этого расстояния: $c \ge \frac{s}{\sqrt{2}}$.

Кроме того, в любом треугольнике сумма длин двух сторон больше длины третьей стороны. Для искомого треугольника ABC должно выполняться неравенство $AC + BC > AB$, то есть $s > c$.

Таким образом, задача имеет решение тогда и только тогда, когда выполняется условие $\frac{s}{\sqrt{2}} \le c < s$.

• Если $c = \frac{s}{\sqrt{2}}$, то окружность касается луча DK, и существует единственное решение (прямоугольный треугольник будет равнобедренным).
• Если $\frac{s}{\sqrt{2}} < c < s$, окружность пересекает луч DK в одной точке (или линию, содержащую луч, в двух точках, но вторая точка дает конгруэнтный треугольник), и решение единственно с точностью до конгруэнтности.
• Если $c < \frac{s}{\sqrt{2}}$ или $c \ge s$, то задача не имеет решений.

Ответ: Искомый треугольник строится следующим образом: 1) строится отрезок AD, равный сумме катетов s; 2) в точке D строится луч DK под углом $45°$ к отрезку DA; 3) из точки A как из центра проводится дуга окружности радиусом c (гипотенуза) до пересечения с лучом DK в точке B; 4) из точки B опускается перпендикуляр BC на прямую AD. Треугольник ABC является искомым.

728. Каждая из хорд AB и BC равна радиусу окружности. Найдите $\angle ABC$.