Номер 726, страница 176 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

§ 24. Метод геометрических мест точек в задачах на построение. Глава 4. Окружность и круг. Геометрические построения - номер 726, страница 176.

726. Три прямые попарно пересекаются и не проходят через одну точку. Постройте точку, равноудалённую от всех трёх прямых. Сколько ре-шений имеет задача?

Постройте точку, равноудалённую от всех трёх прямых.

Анализ задачи показывает, что искомая точка должна быть равноудалена от трёх прямых, которые попарно пересекаются, образуя треугольник. Геометрическое место точек, равноудалённых от двух пересекающихся прямых, есть пара биссектрис углов между ними. Следовательно, искомая точка должна лежать на пересечении биссектрис углов, образованных данными прямыми.

Существует два типа таких точек, и, соответственно, два алгоритма построения:

1. Центр вписанной окружности (инцентр).
Эта точка является пересечением биссектрис трёх внутренних углов треугольника, образованного прямыми. Она единственна и всегда лежит внутри треугольника.
Построение: Построить биссектрисы двух любых внутренних углов треугольника. Точка их пересечения является первой искомой точкой.

2. Центры вневписанных окружностей (эксцентры).
Такая точка является пересечением биссектрисы одного внутреннего угла и биссектрис двух внешних углов при двух других вершинах. Таких точек три, по одной для каждой стороны треугольника. Все они лежат вне треугольника.
Построение: Для нахождения одного из таких центров, нужно построить биссектрису внутреннего угла при одной вершине и биссектрису внешнего угла при другой вершине. Точка их пересечения будет искомой. Повторив процедуру для других комбинаций углов, можно найти остальные две точки.

Ответ: Искомые точки — это центр вписанной окружности и три центра вневписанных окружностей треугольника, образованного данными прямыми. Их построение выполняется путём нахождения точек пересечения соответствующих биссектрис внутренних и внешних углов треугольника.

Сколько решений имеет задача?

Как следует из построения, существует всего четыре точки, удовлетворяющие условию задачи: одна точка является центром вписанной окружности (инцентр) и три точки — центрами вневписанных окружностей (эксцентры).

Ответ: 4 решения.

726. Диаметры $AB$ и $CD$ окружности с центром $O$ перпендикулярны. На диаметре $AB$ по разные стороны от центра $O$ отметили точки $E$ и $F$ так, что $CE = DF$. Докажите, что $OE = OF$.